均匀多面体

均匀多面体是由正多边形（可能是星形多边形）面组成的多面体，这些面的边长相等，并且其多面体顶点都是对称等价的。均匀多面体包括柏拉图立体（由相等的凸正多边形面组成）和阿基米德立体（由不止一种类型的凸正多边形面组成）。与这些特殊情况不同，均匀多面体不必包围体积，并且通常在面之间存在自相交。例如，开普勒-泊松多面体（由相等的凹正多边形或星形多边形面组成）是均匀多面体，其外壳包围体积，但包含对应于不属于外壳的面的部分的内部面。Badoureau 在 19 世纪后期发现了 37 个这样的非凸均匀多面体，其中许多是以前未知的 (Wenninger 1983, p. 55)。

Coxeter et al. (1954) 推测，在均匀多面体中，仅允许两个面在多面体棱处相交的有 75 个，这一推测随后得到了证明。五个五边形棱柱也可以被认为是均匀多面体，使总数达到 80 个。此外，还有另外两个多面体，其中四个面在一条棱处相交，即大复合二十-十二面体和小复合二十-十二面体（两者都是两个均匀多面体的复合体）。

均匀多面体的多面体顶点都位于一个外接球上，球心是它们的几何中心 (Coxeter et al. 1954, Coxeter 1973, p. 44)。连接到另一个多面体顶点的多面体顶点位于一个圆上 (Coxeter et al. 1954)。

在 Wolfram 语言 中，实现了具有精确数值顶点和有时分裂成独立多边形的星形多边形面的，不必需是外接球可描述的均匀多面体的版本，表示为UniformPolyhedron["name"] 或UniformPolyhedron["Uniform", n] (参见 Garcia 2019)。完整的、精确的、等边的、外接球可描述的均匀多面体在 Wolfram 语言 中实现为PolyhedronData["name"] 或PolyhedronData["Uniform", n]。

除了一个非 Wythoffian 情况外，均匀多面体可以通过 Wythoff 的万花筒构造方法生成。在这种构造中，一个位于特殊球面三角形 内部的初始顶点通过在三角形的三个平面侧面上的重复反射映射到所有其他顶点。类似地， 及其万花筒图像必须覆盖球面整数倍，这被称为 的密度 。 的密度 取决于在 、、 处角度 、、 的选择，其中 、、 是大于 1 的约简有理数。这样的球面三角形称为施瓦茨三角形，方便地表示为 。除了 的无限双面体族，对于 , 3, 4, ...，只有 44 种施瓦茨三角形 (Coxeter et al. 1954, Coxeter 1973)。已经表明，、、 的分子仅限于 2、3、4、5（4 和 5 不能同时出现），因此有九种有理数选择：2、3、3/2、4、4/3、5、5/2、5/3、5/4 (Messer 2002)。

75 个均匀多面体的名称最初在 Wenninger (1983, 首次印刷于 1971 年) 中正式确定，基于 N. Johnson 几年前准备的列表，并经过 D. Luke 的略微修改。Johnson 还建议对原始命名法进行一些修改，以纳入一些额外的想法，并撤销 Luke 一些不太成功的更改。Wenninger (1983) 中的“多面体和对偶模型列表”给出了几个均匀多面体的修订名称。五个五边形棱柱的名称出现在 Har'El (1993) 中。

下表给出了 Wenninger (1983) 和 Har'El (1993) 以及 Maeder (1997)、Wenninger (1971)、Coxeter et al. (1954) 和 Har'El (1993) 的编号中给出的均匀多面体及其对偶的名称。Coxeter et al. (1954) 给出了均匀立体的许多性质，Coxeter et al. (1954)、Johnson (2000) 和 Messer (2002) 给出了用于确定半条棱的中心角的四次方程。唯一的非 Wythoffian 情况是 Maeder 索引为 75 的大双菱形二十-十二面体，其具有伪 Wythoff 符号 。

Johnson (2000) 提出了对均匀多面体及其对偶的“官方”名称的进一步修订，同时为每个均匀多面体设计了一个字面符号。对于每个均匀多面体，Johnson (2000) 给出了其在 Wenninger (1989) 中的编号、修改后的 Schläfli 符号（遵循 Coxeter）、字面符号及其新的指定名称。并非每个均匀多面体都具有没有异常（如重合的顶点或延伸到无穷大的面）的对偶。对于那些有对偶的多面体，Johnson 给出了对偶多面体的名称。在 Johnson 的新系统中，均匀多面体分类如下

1. 正多面体（正多边形顶点图），

2. 拟正则多面体（矩形或双三角形顶点图），

3. 广义正则多面体（对角线互相垂直的顶点图），

4. 截角正多面体（等腰三角形顶点图），

5. 拟拟正则多面体（梯形顶点图），

6. 广义拟正则多面体（蝶形顶点图），

7. 截角拟正则多面体（不等边三角形顶点图），

8. 扭棱拟正则多面体（五边形、六边形或八边形顶点图），

9. 棱柱（截角单面体），

10. 反棱柱和交叉反棱柱（扭棱二面体）

以下是 Johnson 用于均匀多面体的符号的简要描述 (Johnson)。附加到“D”或“E”的星号运算符 将五边形 替换为五角星形 。条运算符 表示从相关图形中移除一组（或多组）面，留下“孔”，以便另一组面取代它们的位置。因此，CO 是从截半立方体 CO 获得的，方法是将八个三角形替换为四个六边形。同样，rR'CO 具有斜方立方八面体 rCO 的十二个正方形和小立方截半立方八面体 R'CO 的六个八边形，但在它们的位置上有孔，取代了它们的六个正方形和八个三角形。“r”运算符代表“截半”：一个多面体被截断到棱的中点。“a”、“b”和“c”运算符在双三角形（即，具有双三角形顶点图）多面体的 Schläfli 符号中分别代表“altered”、“blended”和“converted”。“o”运算符代表“ossified”（以 S. L. van Oss 命名）。“s”和“t”运算符分别代表“simiated”（扭棱）和“truncated”（截角）。

撇号和首字母大写用于某些类似于刚刚提到的运算符。例如，rXY 是“菱形-XY”，其中拟正则 XY 的面补充了一组正方形“菱形”面。同构的 r'XY 具有交叉顶点图。“R”和“R'”运算符表示一组不同类型的补充面——六边形、八边形或八角星形，十边形或十角星形。同样，“T”和“S”运算符表示存在由更简单的运算符“t”和“s”产生的面以外或附加的面。s'XY（“vertisnub XY”）的顶点图是交叉多边形，而 s*XY（“retrosnub XY”）的顶点图相对于其外心具有密度 2。

正多面体：

拟正则多面体：

广义正则多面体：

截角正多面体：

拟拟正则多面体： 和

广义拟正则多面体：

截角拟正则多面体：

扭棱拟正则多面体： 或

扭棱拟正则多面体：

棱柱：

反棱柱和交叉反棱柱：