正八面体

正八面体，通常简称为“八面体”，是具有六个多面体顶点，12条多面体边和八个等价的等边三角形面的柏拉图立体，表示为 。上面展示了它的图形，以及线框版本和一个可用于其构造的网格。

正八面体也是 Maeder 索引为 5 (Maeder 1997)，Wenninger 索引为 2 (Wenninger 1989)，Coxeter 索引为 17 (Coxeter et al. 1954) 和 Har'El 索引为 10 (Har'El 1993) 的均匀多面体。它由施莱夫利符号 和 Wythoff 符号 给出。单位边长的八面体是 边的反棱柱，高度为 （即，正三角形反棱柱）。八面体也是边长相等的正方双角锥。

上面展示了正八面体的若干对称投影。

正八面体在 Wolfram 语言中实现为Octahedron[] 或UniformPolyhedron["Octahedron"]。预计算属性可作为PolyhedronData["Octahedron", prop] 获取。

八面体有 11 种不同的网格，与立方体相同 (Buekenhout and Parker 1998)。可以使用 Pólya 枚举定理 解决八面体的多面体着色问题。

八面体是四半六面体的凸包。

单位边长八面体的对偶多面体是边长为 的立方体。

上面的插图展示了由单张纸构建的折纸八面体（Kasahara 和 Takahama 1987，第 60-61 页）。

与立方体一样，正八面体具有 八面体群对称性。

顶点的连通性由八面体图给出。

正八面体只有一个星形化：星状八面体。星状八面体的两个四面体（左图）所包围的实体是正八面体（右图；Ball 和 Coxeter 1987）。

S. Wagon（私人通信，2013 年 10 月 30 日）构建了一个由八个正八面体组成的闭环。

下表给出了可以通过给定高度 的棱锥增广正八面体而构建的多面体。

上面展示了正八面体的三种方向。左侧的顶点为 , , , （边长为 ），中间的顶点为 , , （边长为 ），右侧的顶点为 和 （边长为 ）。

在前一种情况下，面平面为 ，因此实心八面体由以下方程给出

如果正八面体的边按黄金比例分割，使得任何面的分割点形成一个等边三角形，那么十二个分割点就形成一个二十面体 (Wells 1991)。实际上，边可以在内部以黄金比例分割成两种方式，也可以在外部以黄金比例分割成两种方式，从而产生四个可能的二十面体。保持相同的连通性，但反转分割的长端和短端会得到杰森正交二十面体。

垂直于八面体的 轴的平面切割实体形成规则的六边形横截面 (Holden 1991，第 22-23 页)。由于有四个这样的轴，因此有四个可能的六边形横截面。

正八面体的面中心形成一个立方体，而立方体的面中心形成一个八面体 (Steinhaus 1999，第 194-195 页)。正八面体的刻面形式包括立方截角立方八面体和四半六面体。

设正八面体的边长为 。顶部多面体顶点到正方形平面的高度也是外接球半径

其中

是对角线长度，所以

现在计算内切球半径。

所以

使用相似三角形获得

所以内切球半径是

并且两倍的内切球半径给出了八面体作为 3 边反棱柱的高度。八面体的中间半径是

正八面体一个面的面积是等边三角形的面积

体积是正方形底金字塔体积的两倍，

二面角为

单位正八面体的Dehn 不变量为

（OEIS A377296），其中第一个表达式使用 Conway et al. (1999) 的基。

正八面体可以使用Haűy 构造构建。Haűy 八面体数

给出了另一种计算八面体体积的方法，

与上面推导的结果一致。