Kepler-Poinsot 多面体

Kepler-Poinsot 多面体是四个 正多面体，与 柏拉图立体 不同，它们包含 相交 的面平面。此外，四个 Kepler-Poinsot 多面体中有两个是用正多角星形面而不是正多边形面构造的。下表总结了这些多面体以及构成它们的正多边形（或多角星形）。

多面体	面数	面类型
大十二面体	12
大二十面体	20
小星形十二面体	12
大星形十二面体	12

可以在 Wolfram 语言 中实现 Kepler-Poinsot 多面体的列表，如下所示：PolyhedronData["KeplerPoinsot"].

虽然 Kepler-Poinsot 多面体的外部外观在视觉上与通过 增广 十二面体 和 二十面体 创建的实体无法区分，但它们实际上是 二十面体 和 十二面体的星形化，其中包含面在内部的部分。因此，术语“Kepler-Poinsot多面体”比更常见的术语“Kepler-Poinsot立体”更可取。

这些多面体的名称可能起源于 Arthur Cayley，他于 1859 年首次使用了它们。Cauchy (1813) 证明这四个穷尽了正星形多面体的所有可能性 (Ball and Coxeter 1987)。虽然古代人不知道这些多面体，但 小星形十二面体 大约在 1430 年出现在 Paolo Uccello 在威尼斯圣马可大教堂地板上的马赛克中 (Muraro 1955)。大星形十二面体 由 Wenzel Jamnitzer 于 1568 年出版。开普勒重新发现了这两个（开普勒用“海胆”来称呼小星形十二面体），并在他 1619 年的作品Harmonice Mundi 中描述了它们。另外两个已知的多面体，大十二面体 和 大二十面体，随后在 1809 年被 Poinsot（重新）发现。正如 Cauchy 所展示的，它们是 十二面体 和 二十面体 的星形化形式。

下表列出了这些立体、它们的 对偶 和 复合体。与五个柏拉图立体一样，Kepler-Poinsot 多面体的对偶本身也是 Kepler-Poinsot 多面体 (Wenninger 1983, pp. 39 和 43-45)。

	立体	均匀多面体	Schläfli 符号	Wythoff 符号	点群
1	大十二面体
2	大二十面体
3	大星形十二面体
4	小星形十二面体

多面体 和 不满足 多面体公式

其中 是顶点数， 是边数， 是面数，尽管该公式适用于所有普通多面体 (Ball and Coxeter 1987)。这个出乎意料的结果导致 Schläfli (1860) 错误地得出结论，认为它们不可能存在。

在四维空间中，有 10 个 Kepler-Poinsot 多面体，在 维空间中，其中 ，则没有。在四维空间中，九个多面体与 具有相同的 多面体顶点，而第十个多面体与 具有相同的多面体顶点。它们的 Schläfli 符号 是 , , , , , , , , , 和 。

Coxeter等人。(1954) 研究了星形“阿基米德”多面体。