四面体

一般来说，四面体是一个有四个面的多面体。

如果所有面都全等，则该四面体被称为等腰四面体。如果所有面都全等于等边三角形，那么该四面体被称为正四面体（尽管术语“四面体”在没有进一步限定的情况下通常用来表示“正四面体”）。一个三面角的所有面角都是直角的四面体被称为直角四面体。

一个一般的（不一定是正）四面体，定义为由四个（不一定相同的）三角形面组成的凸多面体，可以通过其多面体顶点指定为 ，其中 , ..., 4。那么四面体的体积由下式给出

通过从给定的多面体顶点指定三个多面体边向量 、 和 来指定四面体，体积为

如果顶点 和 之间的边的长度为 ，那么体积 由 Cayley-Menger 行列式给出

考虑一个任意四面体 ，其三角形为 、、 和 。设这些三角形的面积分别为 、、 和 ，并将关于 和 的二面角（对于 ）表示为 。那么四个面的面积通过下式联系起来

涉及六个二面角（Dostor 1905，第 252-293 页；Lee 1997）。这是余弦定理到四面体的推广。此外，对于任何 ,

其中 是 和 的公共边的长度 (Lee 1997)。

给定一个直角四面体，其中一个顶点处所有边都正交相交，并且与该顶点相对的面表示为 ，则

这是毕达哥拉斯定理的推广，也适用于更高维的单形（F. M. Jackson，私人通讯，2006 年 2 月 20 日）。

设 为四面体的边的集合， 为 的幂集。用 表示 中元素 的补集。设 为三元组 的集合，使得 张成四面体的一个面，设 为 的集合，使得 且 。在 中，因此有三个元素是对边对。现在定义 ，它将长度为 的边 关联到量 ，，它将元素 关联到所有 的 的乘积，以及 ，它将 关联到所有 的 的和。那么四面体的体积由下式给出

（P. Kaeser，私人通讯）。

高斯圆问题的类比可以针对四面体提出：在给定内切圆半径的情况下，有多少个格点位于以原点为中心的四面体内（Lehmer 1940, Granville 1991, Xu and Yau 1992, Guy 1994）。

关于一般（即不一定是正）四面体的性质，有许多有趣且出乎意料的定理（Altshiller-Court 1979）。如果一个平面以给定的比率分割四面体的两条对边，那么它也以相同的比率分割四面体的体积（Altshiller-Court 1979，第 89 页）。由此可见，任何通过四面体双中线的平面都会平分四面体的体积（Altshiller-Court 1979，第 90 页）。

设四面体的顶点表示为 、、 和 ，边长表示为 、、、、 和 。那么，如果 表示边长为 、 和 的三角形的面积，则四面体的体积和外接球半径通过以下优美的公式联系起来

（Crelle 1821，第 117 页；von Staudt 1860；Rouché 和 Comberousse 1922，第 568-576 页和 643-664 页；Altshiller-Court 1979，第 249 页）。

设 是由外接于半径为 的球的四面体的第 个面形成的球面三角形的面积，设 是边 所对的角。那么

正如 J.-P. Gua de Malves 在 1740 年或 1783 年左右所证明的那样 (Hopf 1940)。上述公式提供了一种计算正四面体的顶点对其对面所张的立体角 的方法，通过将 （二面角）代入上述公式。因此，

或约 0.55129 球面度。