柏拉图立体

柏拉图立体，也称为正立体或正多面体，是 凸多面体，其等效面由全等的 凸 正多边形 组成。 正好有五个这样的立体（Steinhaus 1999，第 252-256 页）：立方体、十二面体、二十面体、八面体 和 四面体，正如欧几里得在《几何原本》的最后一个命题中证明的那样。 柏拉图立体有时也称为“宇宙图形”（Cromwell 1997），尽管该术语有时也用于统称柏拉图立体和 克普勒-泊松多面体（Coxeter 1973）。

古希腊人知道柏拉图立体，柏拉图约在公元前 350 年的《蒂迈欧篇》中描述了它们。 在这部著作中，柏拉图将 四面体 等同于“元素”火，立方体 等同于土，二十面体 等同于水，八面体 等同于空气，十二面体 等同于构成星座和天空的物质（Cromwell 1997）。 在柏拉图之前，苏格兰新石器时代的人们在一千年前就发展出了这五种立体。 这些石模型保存在牛津的阿什莫林博物馆中（Atiyah 和 Sutcliffe 2003）。

Schläfli（1852）证明，在四维空间中正好有六个具有柏拉图性质的正物体（即 正多胞形），在五维空间中有三个，在所有更高维度中也有三个。 然而，他的作品（其中没有插图）实际上一直不为人知，直到 Cayley 以英文部分出版（Schläfli 1858，1860）。 后来，Stringham 等其他数学家在 1880 年独立发现了类似的结果，Schläfli 的作品于 1901 年在他去世后完整出版。

如果 是一个具有全等（凸）正多边形面的 多面体，那么 Cromwell（1997，第 77-78 页）表明以下陈述是等价的。

1. 的顶点都位于一个 球体 上。

2. 所有 二面角 都相等。

3. 所有 顶点图形 都是 正多边形。

4. 所有 立体角 都相等。

5. 所有顶点都被相同数量的 面 包围。

设 （有时表示为 ）是 多面体顶点 的数量，（或 ）是 图的边 的数量，（或 ）是 面 的数量。 下表给出了 施莱夫利符号、Wythoff 符号 和 C&R 符号，顶点数量 、边数量 和面数量 ，以及柏拉图立体的 点群 (Wenninger 1989)。 柏拉图立体的面的有序数量为 4、6、8、12、20（OEIS A053016；按四面体、立方体、八面体、十二面体、二十面体的顺序排列），这也是顶点的有序数量（按四面体、八面体、立方体、二十面体、十二面体的顺序排列）。 边的有序数量为 6、12、12、30、30（OEIS A063722；按四面体、八面体 = 立方体、十二面体 = 二十面体的顺序排列）。

柏拉图立体的对偶也是柏拉图立体，事实上，四面体 的对偶是另一个 四面体。 设 为对偶多面体的 内半径（对应于 内切球，它与对偶立体的面相切）， 为多面体及其对偶的中半径（对应于 中切球，它与多面体及其对偶的边都相切）， 为柏拉图立体的 外半径（对应于 外接球，它与立体的顶点相切）， 为立体的边长。 由于 外接球 和 内切球 彼此对偶，因此它们服从以下关系

（Cundy 和 Rollett 1989，第 144 页后的表 II）。 此外，

以下两个表格给出了单位边长的柏拉图立体的这些距离的解析值和数值。

最后，设 为单个 面 的 面积， 为立体的 体积，并且 多面体边 的边长为单位长度。 下表总结了柏拉图立体的这些量。

下表给出了柏拉图立体的 二面角 和边从中心 subtended 的角度 （Cundy 和 Rollett 1989，第 144 页后的表 II）。

在 多面体顶点 处相交的 多面体边 的数量为 。 施莱夫利符号 可用于指定柏拉图立体。 对于面是 -边形（表示为 ）的立体，其中 个在每个 多面体顶点 处相交，符号为 。 给定 和 ，多面体顶点、多面体边 和面的数量由下式给出

上面的图显示了柏拉图立体的缩放对偶，嵌入到原始立体的增广形式中，其中选择缩放比例是为了使对偶顶点位于原始面的内心处（Wenninger 1983，第 8-9 页）。

由于柏拉图立体是凸的，因此每个柏拉图立体的凸包就是该立体本身。 Isenberg（1992，第 82-83 页）说明了柏拉图立体框架的最小曲面。