圆

圆是平面上到给定点 距离相等的点的集合。从圆心到圆上点的距离 称为半径，点 称为圆心。两倍半径称为直径 。一个圆从其圆心所对的角度是一个周角，等于 或 弧度。

对于给定的周长，圆具有最大可能的面积，对于给定的面积，圆具有最小可能的周长。

圆的周长 称为圆周长，由下式给出

(1)

这可以使用微积分，使用极坐标中的弧长公式计算：

(2)

但是由于 ，这变得简单地为

(3)

圆的圆周长与直径之比 随着圆的大小变化而保持恒定（因为它必须如此，因为将平面图形按比例因子 缩放会将其周长增加 倍），并且 也按 缩放。这个比率用 (pi) 表示，并且已被证明是超越数。

知道 ，圆的面积可以通过几何或使用微积分来计算。如上图所示，当同心条带的数量增加到无穷大时，它们形成一个三角形，因此

(4)

这个推导最早由阿基米德在《圆的测量》中记录（约公元前 225 年）。

如果将圆切割成楔形，当楔形的数量增加到无穷大时，会得到一个矩形，因此

(5)

从微积分来看，面积可以直接从公式得出

(6)

再次使用极坐标。

圆也可以看作是正多边形的极限情况，其内切圆半径 和外接圆半径 随着边数 趋于无穷大（技术上称为无限边形的图形）。这然后给出了圆周长为

			(7)
			(8)

和面积为

			(9)
			(10)

由于半径 和 随着 收敛到相同的半径，因此它们是等价的。

不幸的是，几何学家和拓扑学家对于“-球面”的含义采用了不兼容的约定，几何学家指的是底层空间中坐标的数量，而拓扑学家指的是表面本身的维度（Coxeter 1973，第 125 页）。因此，几何学家称通常圆的圆周为 2-球面，而拓扑学家将其称为 1-球面，并将其表示为 。

圆是通过圆锥与垂直于圆锥对称轴的平面相交而获得的圆锥曲线。它也是一条李萨如曲线。圆是椭圆的退化情况，其半长轴和半短轴相等（即，离心率为 0）。圆的内部称为圆盘。圆到三维的推广称为球体，到 维（对于 ）称为超球体。

两个圆的交集区域称为透镜形。三个对称放置的圆的交集区域（如韦恩图中所示），在每个圆的中心位于其他两个圆的交点处的特殊情况下，称为勒洛三角形。

在笛卡尔坐标中，以 为圆心，半径为 的圆的方程为

(11)

在垂足坐标中，垂足点位于圆心，方程为

(12)

以 为直径的圆由下式给出

(13)

半径为 的圆的参数方程可以由下式给出

			(14)
			(15)

圆也可以通过有理函数参数化

			(16)
			(17)

但椭圆曲线不能。

上面的图显示了圆的法向量和切向量序列。

由 (◇) 和 (◇) 参数表示的半径为 的圆的弧长 、曲率 和切线角 为

			(18)
			(19)
			(20)

Cesàro 方程是

(21)

在极坐标中，圆的方程具有特别简单的形式。

(22)

是以原点为圆心的半径为 的圆，

(23)

是以 为圆心的半径为 的圆，并且

(24)

是以 为圆心的半径为 的圆。

通过三个点 （对于 、2、3）的圆的方程（由这些点确定的三角形的外接圆）是

(25)

可以通过分配二次曲线的系数来识别此圆的圆心和半径

(26)

其中 且 （因为没有 交叉项）。配方法给出

(27)

然后可以将圆心识别为

			(28)
			(29)

和半径为

(30)

其中

			(31)
			(32)
			(33)
			(34)

位于一个圆上的四个或更多个点被称为共圆点。三个点自然是共圆的，因为三个非共线点确定一个圆。

在三线坐标中，每个圆都具有以下形式的方程

(35)

其中 (Kimberling 1998, p. 219)。

由方程 (35) 给出的圆的圆心 由下式给出

			(36)
			(37)
			(38)

(Kimberling 1998, p. 222)。

在精确三线坐标 中，通过具有精确三线坐标 、 和 的三个非共线点的圆的方程为

(39)

(Kimberling 1998, p. 222)。

Kimberling (1998, p. 223) 给出了圆心为 、半径为 的三线圆的方程。