正四面体

正四面体，通常简称为“四面体”，是拥有四个多面体顶点、六条多面体边和四个等边三角形面的柏拉图立体，。上图展示了正四面体及其线框版本和一个可用于其构造的网格。

正四面体也是均匀多面体，其 Maeder 指数为 1 (Maeder 1997)，Wenninger 指数为 1 (Wenninger 1989)，Coxeter 指数为 15 (Coxeteret al. 1954)，Har'El 指数为 6 (Har'El 1993)。它由施莱夫利符号 描述，Wythoff 符号为 。它是一个等面体，是通用四面体和等腰四面体的一个特例。

上面展示了正四面体的若干对称投影。

正四面体在 Wolfram 语言中实现为Tetrahedron[] 或UniformPolyhedron["Tetrahedron"]。预计算属性可作为PolyhedronData["Tetrahedron", prop]。

四面体有 7 个对称轴：（连接顶点与对面中心轴）和 （连接相对边中点的轴）。

除了四面体之外，没有其他凸多面体具有四个面。

四面体有两个不同的网格（Buekenhout 和 Parker 1998）。可以使用波利亚计数定理解决四面体的多面体着色问题。

四面体的表面积是单个等边三角形面面积的四倍

因此

正四面体的高度是

内半径和外半径是

其中 必然如此。

由于四面体是以三角形为底的金字塔，，得出

二面角是

单位正四面体的Dehn 不变量是

（OEIS A377277），其中第一个表达式使用 Conwayet al. (1999) 的基。

从正四面体的顶点到对面所张的立体角 由下式给出

或大约 0.55129 球面度。

四面体的中半径是

代入多面体顶点得到

如上图所示，单位边长四面体的对偶多面体是另一个方向相反的单位边长四面体。

上图显示了用一张纸折叠而成的折纸四面体（Kasahara 和 Takahama 1987，第 56-57 页）。

它是四面体群 的原型。顶点的连通性由四面体图给出，等价于循环图 和完全图 。

四面体是其自身的对偶多面体，因此四面体的面的中心形成另一个四面体（Steinhaus 1999，第 201 页）。四面体是唯一没有多面体对角线的简单多面体，并且不能进行星形化。如果一个正四面体被六个平面切割，每个平面都穿过一条边并平分相对的边，它将被切成 24 块（Gardner 1984，第 190 和 192 页；Langman 1951）。

亚历山大·格拉汉姆·贝尔是使用四面体框架结构（包括风筝）的支持者（Bell 1903；Lesage 1956，Gardner 1984，第 184-185 页）。正四面体的相对边是垂直的，因此如果铰接得当，可以形成万向联轴器。八个正四面体可以放置在一个自由旋转的环中，对于挤压的不规则四面体，数量可以减少到六个（Wells 1975, 1991）。

设一个四面体的边长为 ，并使其底面位于 平面内，其中一个顶点沿正 -轴。则此四面体的多面体顶点位于 (, 0, 0)、(, , 0) 和 (0, 0, )，其中

然后是

这给出了底面的面积为

高度是

外半径 由下式求得

解得

内半径 是

也就是

底面和中心之间的角度由此给出

给定一个边长为 的四面体，其顶点垂直，坐标系原点位于顶点的几何质心处，则四个多面体顶点位于 、、，如上所示

当顶点取为立方体的角时，边长为 的四面体的顶点也可以用特别简单的形式给出（Gardner 1984，第 192-194 页）。边长为 1 的立方体的一个这样的四面体给出了边长为 的四面体，其顶点为 (0, 0, 0)、(0, 1, 1)、(1, 0, 1)、(1, 1, 0)，并满足不等式

下表给出了可以通过给定高度 的金字塔对四面体进行增广构造的多面体。

用等间距的线连接相对的边对，得到如上图所示的配置，该配置将四面体分成八个区域：四个开放区域和四个封闭区域（Steinhaus 1999，第 246 页）。

密歇根州艺术家大卫·巴尔于 1976 年设计了他的“四角项目”。这是一个地球大小的正四面体，跨越整个地球，只有四个角的尖端突出。这些可见部分是四英寸的四面体，从地球突出，位于复活节岛、格陵兰岛、新几内亚和卡拉哈里沙漠。巴尔前往这些地点，并在 1981 年至 1985 年间永久安装了四个对齐的大理石四面体（G. Hart, pers. comm.; Arlinghaus 和 Nystuen 1986）。

通过如上所示切割四面体，可以得到一个正方形。这种切割将四面体分成两个全等的实体，旋转了 。四面体的投影可以是等边三角形或正方形（Steinhaus 1999，第 191-192 页）。