对偶多面体

根据对偶性原理，对于每个多面体，都存在另一个多面体，其中面和多面体顶点占据互补的位置。这个多面体被称为对偶或倒数。取对偶的过程也称为倒数或极倒数。 Brückner (1900) 是最早给出对偶性精确定义的人之一（Wenninger 1983，第 1 页）。

从任何给定的多面体开始，其对偶的对偶是原始多面体。

任何多面体都可以与第二个（抽象的、组合的、拓扑的）对偶图形相关联，其中一个的顶点对应于另一个的面，并且一个的顶点对之间的边对应于另一个的面对之间的边。即使一对多面体无法通过倒数获得，只要一个的顶点对应于另一个的面，并且一个的边对应于另一个的边，以保持关联的方式，它们也可以被称为彼此的（抽象的、组合的或拓扑的）对偶。然而，并非所有这样的对偶都是几何多面体。

对偶运算在 Wolfram 语言 中实现为DualPolyhedron[poly].

可以通过连接围绕每个多面体顶点的边的中点（顶点图形；左图），并构造相应的切线多边形（与顶点图形的外接圆相切；右图）来计算柏拉图立体、阿基米德立体，或者实际上任何均匀多面体的对偶。这有时被称为 Dorman-Luke 构造（Wenninger 1983，第 30 页；Cundy 和 Rollett 1989，第 117 页）。 Dorman Luke 的构造只能用于多面体具有中球面并且顶点图形是循环的情况。

根据 Cundy 和 Rollett (1989, 第 79 页)，在倒数中，极线是垂直的，并且对于半径的合适选择，可以使它们相交。这是放置倒数多面体最有趣的位置，其中一个的每条边与另一个的对应边成直角（并且通常也在中点）相交。事实上，许多有吸引力的多面体复合体正是以这种方式形成的。

也可以通过构造与中球面（有时也称为倒数球面或内切球面）相切的多面体边来绘制柏拉图立体或阿基米德立体的对偶多面体，这些多面体边与原始多面体边垂直。此外，令 为对偶多面体的内半径（对应于内切球，它与对偶立体的面相切）， 为多面体及其对偶的中半径（对应于中球面，它与多面体及其对偶的边相切），以及 外半径（对应于外接球，它与立体的顶点相切）。由于外接球和内切球彼此对偶，、 和 服从极性关系

（Cundy 和 Rollett 1989，表 II 第 144 页之后）。

上面说明了通过关于中球面进行倒数运算来形成对偶的过程，以柏拉图立体为例。顶行显示原始立体。中间行显示原始立体的顶点图形，作为叠加在形成相应对偶的切线多边形上的线。最后，底行说明了由多面体及其对偶组成的多面体复合体。

对于具有 个顶点、 个面和 条边的阿基米德立体，其对偶多面体具有 个顶点、 个面和 条边。等角立体的对偶（即，所有顶点都相似）是等面立体的（即，所有面都相似）（Wenninger 1983，第 5 页）。

任何非凸均匀多面体的对偶都是给定多面体的凸包的星形形式（Wenninger 1983，第 3-4 页和第 40 页）。

对于柏拉图立体或阿基米德立体，立体及其对偶的体积之比与立体及其对偶的表面积之比相同，阿波罗尼奥斯首先注意到十二面体和二十面体的这一性质。

下表列出了柏拉图立体和开普勒-泊松多面体的对偶，以及多面体-对偶复合体的名称。（请注意，柏拉图立体的对偶本身就是柏拉图立体，因此取柏拉图立体的对偶不会形成新的立体。）

对偶也可以用于其他多面体，包括阿基米德立体和均匀立体。下表给出了某些立体及其对偶的名称。

当具有Schläfli 符号 的多胞体及其对偶处于倒数位置时， 的边界多面体的顶点可以通过选择 中最接近 每个顶点的那些顶点来找到。