小星形十二面体

小星形十二面体是 开普勒-泊松多面体，其 对偶多面体 是 大十二面体。它也是 均匀多面体，Maeder 索引为 34 (Maeder 1997)，Wenninger 索引为 20 (Wenninger 1989)，Coxeter 索引为 43 (Coxeter et al. 1954)，Har'El 索引为 39 (Har'El 1993)。小星形十二面体具有 施莱夫利符号 和 威佐夫符号 。它由 12 个 五角星形 面 () 组成。

它是 十二面体 的第一个 星形化 (Wenninger 1989)。

小星形十二面体在 Wolfram 语言 中实现为UniformPolyhedron[20], UniformPolyhedron["SmallStellatedDodecahedron"], UniformPolyhedron["Coxeter", 43], UniformPolyhedron["Kaleido", 39], UniformPolyhedron["Uniform", 34], 或UniformPolyhedron["Wenninger", 20]。它也在 Wolfram 语言 中实现为PolyhedronData["SmallStellatedDodecahedron"].

小星形十二面体大约在 1430 年作为保罗·乌切洛在威尼斯圣马可大教堂地板上的马赛克出现 (Muraro 1955)。开普勒 (在他的著作中使用了术语“海胆”) 在他 1619 年的著作 Harmonice Mundi 中重新发现了它，泊松在 1809 年再次发现了它。

小星形十二面体的骨架与 二十面体图 同构。

施莱夫利 (Schläfli) (1901, p. 134) 没有将小星形十二面体视为正多面体，因为它违反了 多面体公式，而是满足

(1)

其中 是顶点数， 是边数， 是面数 (Coxeter 1973, p. 172)。

埃舍尔 (Escher) 构建了他自己的小星形十二面体模型 (Bool et al. 1982, p. 146)，作为他的木刻作品“秩序与混沌” (Bool et al. 1982, p. 299) 和“秩序与混沌 II” (Bool et al. 1982, p. 310) 的研究。

12 个五角星形面可以通过找到 二十面体 的 12 组共面的五个顶点来构建，并将每组连接起来形成一个 五角星。

假设 12 个五角星形的边长为单位长度，则小星形十二面体的 外接球半径 为

			(2)
			(3)

小星形十二面体可以通过 增广 十二面体来构造，即构建十二个 五角锥体 并将它们附加到原始十二面体的面上。在单位 十二面体 上构建的小星形十二面体的锥体高度为 。为了达到与使用单位边长五角星形构建的小星形十二面体相同的比例，在单位边长十二面体上构建的 增广 立体必须按 缩放。

累积单位 十二面体 以构建大星形十二面体会产生边长为

			(4)
			(5)

这种小星形十二面体的 表面积 和 体积 为

			(6)
			(7)

上面的图像显示了一个使用 30 个 36 度等腰三角形模块构建的 折纸 小星形十二面体，每个模块由单张纸组成，并且需要胶水 (Gurkewitz and Arnstein 1995, pp. 54-55)。

小星形十二面体的 凸包 是 正二十面体，二十面体 的对偶是 十二面体，因此小星形十二面体的对偶是 十二面体星形化 之一 (Wenninger 1983, p. 40)