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外接球

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给定点集的 circumsphere，通常是固体的顶点，是一个穿过所有点的球体。circumsphere 并非总是存在，但当它存在时，其半径 R 称为circumradius，其中心称为circumcenter。circumsphere 是 circumcircle 的三维推广。

Circumsphere

上图描绘了柏拉图立体的外接球。

外接球在 Wolfram 语言中实现为外接球[pts]，其中 pts 是点列表，或者外接球[poly]，其中 poly 是一个多边形（给出二维外接圆）或者多面体（给出三维外接球）对象。

与外接圆的方程类似，顶点为 polygon vertices (x_i,y_i,z_i)，i=1, ..., 4 的四面体的外接球方程为

|x^2+y^2+z^2 x y z 1; x_1^2+y_1^2+z_1^2 x_1 y_1 z_1 1; x_2^2+y_2^2+z_2^2 x_2 y_2 z_2 1; x_3^2+y_3^2+z_3^2 x_3 y_3 z_3 1; x_4^2+y_4^2+z_4^2 x_4 y_4 z_4 1|=0.
(1)

展开行列式，

a(x^2+y^2+z^2)-(D_xx+D_yy+D_zz)+c=0,
(2)

其中

a=|x_1 y_1 z_1 1; x_2 y_2 z_2 1; x_3 y_3 z_3 1; x_4 y_4 z_4 1|,
(3)

D_x 是从矩阵获得的行列式

D=[x_1^2+y_1^2+z_1^2 x_1 y_1 z_1 1; x_2^2+y_2^2+z_2^2 x_2 y_2 z_2 1; x_3^2+y_3^2+z_3^2 x_3 y_3 z_3 1; x_4^2+y_4^2+z_4^2 x_4 y_4 z_4 1]
(4)

通过舍弃 x_i 列（并取正号）获得，D_y 类似（这次取负号），D_z 也类似（再次取正号）

D_x=+|x_1^2+y_1^2+z_1^2 y_1 z_1 1; x_2^2+y_2^2+z_2^2 y_2 z_2 1; x_3^2+y_3^2+z_3^2 y_3 z_3 1; x_4^2+y_4^2+z_4^2 y_4 z_4 1|
(5)
D_y=-|x_1^2+y_1^2+z_1^2 x_1 z_1 1; x_2^2+y_2^2+z_2^2 x_2 z_2 1; x_3^2+y_3^2+z_3^2 x_3 z_3 1; x_4^2+y_4^2+z_4^2 x_4 z_4 1|
(6)
D_z=+|x_1^2+y_1^2+z_1^2 x_1 y_1 1; x_2^2+y_2^2+z_2^2 x_2 y_2 1; x_3^2+y_3^2+z_3^2 x_3 y_3 1; x_4^2+y_4^2+z_4^2 x_4 y_4 1|
(7)

且 c 由下式给出

c=|x_1^2+y_1^2+z_1^2 x_1 y_1 z_1; x_2^2+y_2^2+z_2^2 x_2 y_2 z_2; x_3^2+y_3^2+z_3^2 x_3 y_3 z_3; x_4^2+y_4^2+z_4^2 x_4 y_4 z_4|.
(8)

配方得到

a(x-(D_x)/(2a))^2+a(y-(D_y)/(2a))^2+a(z-(D_z)/(2a))^2-(D_x^2+D_y^2+D_z^2)/(4a)+c=0
(9)

这是一个球体 的形式为

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=r^2,
(10)

中心为外心

x_0=(D_x)/(2a)
(11)
y_0=(D_y)/(2a)
(12)
z_0=(D_z)/(2a)
(13)

半径为外接圆半径

r=(sqrt(D_x^2+D_y^2+D_z^2-4ac))/(2|a|).
(14)

另请参阅

外心, 外接圆, 外接圆半径, 内切球, 中切球

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引用为

Weisstein, Eric W. "外接球。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Circumsphere.html

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