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扭棱立方体

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扭棱立方体，也称为 cubus simus (开普勒 1619, Weissbach 和 Martini 2002) 或扭棱立方八面体，是一种阿基米德立体，具有 38 个面（32 个三角形和 6 个正方形）、60 条边和 24 个顶点。它是一种手性立体，因此具有两种对映异构形式，分别称为 laevo（左手）和 dextro（右手）。上面展示了一个 laevo 扭棱十二面体，以及一个线框版本和一个可用于其构建的网格。

它也是 Maeder 索引为 12 (Maeder 1997)、Wenninger 索引为 17 (Wenninger 1989)、Coxeter 索引为 24 (Coxeter 等人 1954) 和 Har'El 索引为 17 (Har'El 1993) 的均匀多面体。它具有 Schläfli 符号 s{3; 4} 和 Wythoff 符号 |234。

SnubCubeProjections

上面展示了扭棱立方体的一些对称投影。

它在 Wolfram 语言中实现为UniformPolyhedron["SnubCube"]. 预计算属性可作为PolyhedronData["SnubCube", 属性].

tribonacci 常数 t 与扭棱立方体的度量属性密切相关。

它可以通过对单位立方体进行扭棱变换并向外偏移来构造

d=-1/2+sqrt((1-t)/(4(t-2)))
(1)
=(64x^6+192x^5+176x^4+32x^3-60x^2-44x-11)_2
(2)

和扭转角

theta=cos^(-1)[(8x^6-4x^4-2x^2-1)_2]
(3)
=cos^(-1)(sqrt(1/2t))
(4)
=tan^(-1)((t-1)/(t+1))
(5)
=0.287413....
(6)

这里，符号 (P(x))_n 表示多项式根， t 是 tribonacci 常数。

SnubCubeMirrorImages

上面展示了两个对映异构体相互叠加的吸引人的对偶。

SnubCubeAndDual

它的对偶多面体是五角二十四面体，上面展示了它与扭棱立方体。

SnubCubicalGraph

它的骨架是扭棱立方体图，上面展示了它的几个例子。

对于单位边长的扭棱立方体，其对偶和实体的中半径 rho 以及外接球半径 R 由下式给出

rho=(64x^6-112x^4+20x^2-1)_2
(7)
=sqrt(1/(4(2-t)))
(8)
=sqrt(R^2-1/4)
(9)
=1.247223168...
(10)
R=(32x^6-80x^4+44x^2-7)_2
(11)
=sqrt((3-t)/(4(2-t)))
(12)
=1.3437133737446....
(13)

从中心到三角形和正方形面质心的距离由以下方程的唯一正根给出

r_3=(864x^6-1296x^4+36x^2-1)_2
(14)
=sqrt((t+1)/(12(2-t)))
(15)
=sqrt(R^2-1/3)
(16)
=1.213355800...
(17)
r_4=(32x^6-32x^4-12x^2-1)_2
(18)
=sqrt((1-t)/(4(t-2)))
(19)
=sqrt(R^2-1/2)
(20)
=1.142613508....
(21)

边长为 1 的扭棱立方体的表面积是

S=6+8sqrt(3)
(22)

体积 V 由下式给出

V=(729x^6-45684x^4+19386x^2-12482)_2
(23)
=(3sqrt(t-1)+4sqrt(t+1))/(3sqrt(2-t))
(24)
=sqrt((613t+203)/(9(35t-62)))
(25)
=8/3sqrt(3R^2-1)+sqrt(4R^2-2)
(26)
=7.88948....
(27)

二面角是

alpha_(33)=pi-cos^(-1)((27x^3+9x^2-15x-13)_1)
(28)
=pi-cos^(-1)[1/3(2t-1)]
(29)
=pi-2sin^(-1)(sqrt(1/3(2-t)))
(30)
=2sec^(-1)(sqrt(12R^2-3))
(31)
=2.674448083...
(32)
alpha_(34)=pi-cos^(-1)((27x^6-99x^4+129x^2-49)_2)
(33)
=pi-cos^(-1)(sqrt(1-2/(3t)))
(34)
=pi-sin^(-1)(sqrt(2-t))-sin^(-1)(sqrt((2-t)/3))
(35)
=sec^(-1)(sqrt(12R^2-3))+sec^(-1)(sqrt(4R^2-1))
(36)
=2.495531630....
(37)

边从中心 subtend 的角度是

beta=cos^(-1)((7x^3+x^2-3x-1)_1)
(38)
=cos^(-1)(sqrt((1-t)/(t-3)))
(39)
=2csc^(-1)(2R)
(40)
=0.7625477387....
(41)

另请参阅

阿基米德立体, 等边带状多面体, 二十四面体, 五角二十四面体, 扭棱立方体-五角二十四面体复合体, 扭棱立方体图, 扭棱十二面体, Tribonacci 常数

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参考文献

Ball, W. W. R. and Coxeter, H. S. M. 数学娱乐与散文，第 13 版 New York: Dover, p. 139, 1987.Coxeter, H. S. M.; Longuet-Higgins, M. S.; and Miller, J. C. P. "均匀多面体。" Phil. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 246, 401-450, 1954.Cundy, H. and Rollett, A. "扭棱立方体。 3^4.4。" §3.7.7 in 数学模型，第 3 版 Stradbroke, England: Tarquin Pub., p. 107, 1989.Geometry Technologies. "扭棱立方体。" http://www.scienceu.com/geometry/facts/solids/snub_cube.html.Hardin, R. H. and Sloane, N. J. A. "McLaren 改进的扭棱立方体和其他新的三维球形设计。" Disc. Comput. Geom. 15, 429-441, 1996.Har'El, Z. "均匀多面体的统一解。" Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993.Kasahara, K. "从正多面体到半正则多面体。" 折纸大全：每个人的折纸。 Tokyo: Japan Publications, pp. 220-221, 1988.Kepler, J. Harmonices Mundi. 1619. Reprinted Opera Omnia, Lib. II. Frankfurt, Germany.Longuet-Higgins, M. S. "扭棱多面体和有机生长。" Proc. Roy. Soc. A 465, 477-491, 2009.Maeder, R. E. "12：扭棱立方体。" 1997. https://www.mathconsult.ch/static/unipoly/12.html.Robinson, R. M. "球面上 24 个点的排列。" Math. Ann. 144, 17-48, 1961.Weissbach, B. and Martini, H. "关于手性阿基米德立体。" Contrib. Algebra and Geometry 43, 121-133, 2002.Wenninger, M. J. "扭棱立方体。" Model 17 in 多面体模型。 Cambridge, England: Cambridge University Press, p. 31, 1989.

请引用为

Weisstein, Eric W. "扭棱立方体。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/SnubCube.html

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