多面体

“多面体”一词在几何学和代数几何学中略有不同的含义。在几何学中，多面体仅仅是由一组多边形组成的三维实体，这些多边形通常在其边缘连接。这个词源于希腊语 poly（多的）加上印欧语 hedron（座位）。多面体是更一般的多胞形（在几何意义上）的三维版本，多胞形可以在任意维度中定义。多面体的复数形式是“polyhedra”（有时也用“polyhedrons”）。

术语“多面体”在代数拓扑学中的使用方式略有不同，在代数拓扑学中，它被定义为可以由诸如线段、三角形、四面体及其更高维度的类似物等“构建块”通过沿其面“粘合在一起”而构建的空间（Munkres 1993，第 2 页）。更具体地说，它可以定义为单纯复形的底层空间（有时会额外施加复形是有限的约束；Munkres 1993，第 9 页）。在通常的定义中，多面体可以被视为半空间的交集，而多胞形是有界多面体。

在Wolfram 语言中，多面体[] 对象表示由具有多边形面的封闭曲面界定的填充区域。

凸多面体可以正式定义为线性不等式组的解集

其中 是实数 矩阵， 是实数 -向量。虽然用法各异，但大多数作者还要求解是有界的，才能定义凸多面体。上面展示了一个凸多面体的例子。

下表列出了具有 个面的多面体的名称，用于小的 。当在对称形式存在的多面体中不加限定地使用该术语时，根据上下文，该术语可能指这种特定的多面体，也可能指任意的 -面多面体。

	多面体
4	四面体
5	五面体
6	六面体
7	七面体
8	八面体
9	九面体
10	十面体
11	十一面体
12	十二面体
14	十四面体
20	二十面体
24	二十四面体
30	三十面体
32	二十-十二面体
60	六十面体
90	九十面体

如果一个多面体的面和顶点图形是正多边形（不一定是凸多边形）（Coxeter 1973，第 16 页），则称该多面体是正多面体。根据这个定义，总共有九个正多面体，其中五个是凸柏拉图立体，四个是凹（星状）开普勒-泊松多面体。然而，术语“正多面体”有时专门用于指柏拉图立体（Cromwell 1997，第 53 页）。柏拉图立体的对偶多面体不是新的多面体，它们本身就是柏拉图立体。

如果一个凸多面体的面在每个多面体顶点周围都具有相似排列的两个或多个不同类型的非相交正平面凸多边形（Holden 1991，第 41 页），则称该凸多面体为半正多面体。这些立体更常被称为阿基米德立体，共有 13 种。阿基米德立体的对偶多面体是 13 种新的（且美丽的）立体，有时被称为卡塔兰立体。

准正多面体是两个对偶正多面体内部的实体区域（Coxeter 1973，第 17-20 页）。只有两种凸准正多面体：立方八面体和二十-十二面体。还有无限系列的棱柱和反棱柱。

恰好存在 92 种具有正多边形面的凸多面体（且顶点不一定等价）。它们被称为约翰逊立体。具有通过对称操作相关的相同多面体顶点的多面体被称为均匀多面体。在这些多面体中，有 75 种在多面体棱上只能相遇两个面，有 76 种可以相遇任意偶数个面。其中，37 种由 Badoureau 于 1881 年发现，12 种由 Coxeter 和 Miller 大约于 1930 年发现。

多面体可以相互叠加（允许边相互穿过）以产生额外的多面体复合体。由正多面体构成的复合体具有特别美观的对称性。对应于多面体骨架的图称为施莱格尔图。

Behnke 等人 (1974) 已经确定了所有关于其多面体顶点对称的多面体的对称群。