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二次曲线

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一般的二元二次曲线可以写成

ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2fy+g=0.
(1)

定义以下量

Delta=|a b d; b c f; d f g|
(2)
J=|a b; b c|
(3)
I=a+c
(4)
K=|a d; d g|+|c f; f g|.
(5)

然后，二次曲线被分类为下表（Beyer 1987）中总结的类型。实数（非退化）二次曲线（椭圆及其特殊情况 圆、双曲线和 抛物线）对应于可以通过 平面 与（双锥）圆锥 的交集创建的曲线，因此被称为 圆锥曲线。

曲线DeltaJDelta/IK
重合线000
椭圆（虚数）!=0>0>0
椭圆（实数）!=0>0<0
双曲线!=0<0
相交线（虚数）0>0
相交线（实数）0<0
抛物线!=00
平行线（虚数）00>0
平行线（实数）00<0

总是可以通过适当的轴旋转来消除 xy 交叉项。为了看到这一点，考虑按任意角度 theta 旋转。旋转矩阵是

[x; y]=[costheta sintheta; -sintheta costheta][x^'; y^']
(6)
=[x^'costheta+y^'sintheta; -x^'sintheta+y^'costheta],
(7)

所以

x=x^'costheta+y^'sintheta
(8)
y=-x^'sintheta+y^'costheta
(9)
xy=-x^('2)costhetasintheta+x^'y^'(cos^2theta-sin^2theta)+y^('2)costhetasintheta
(10)
x^2=x^('2)cos^2theta+2x^'y^'costhetasintheta+y^('2)sin^2theta
(11)
y^2=x^('2)sin^2theta-2x^'y^'sinthetacostheta+y^('2)cos^2theta.
(12)

将这些代入 (◇) 并分组项得到

x^('2)(acos^2theta+csin^2theta-2bcosthetasintheta)+x^'y^'[2acosthetasintheta-2csinthetacostheta+2b(cos^2theta-sin^2theta)]+y^('2)(asin^2theta+ccos^2theta+2bcosthetasintheta)+x^'(2dcostheta-2fsintheta)+y^'(2dsintheta+2fcostheta)+g=0.
(13)

将系数与 (◇) 进行比较，得到形式为的方程

a^'x^('2)+2b^'x^'y^'+c^'y^('2)+2d^'x^'+2f^'y^'+g^'=0,
(14)

其中新的系数为

a^'=acos^2theta-2bcosthetasintheta+csin^2theta
(15)
b^'=b(cos^2theta-sin^2theta)+(a-c)sinthetacostheta
(16)
c^'=asin^2theta+2bsinthetacostheta+ccos^2theta
(17)
d^'=dcostheta-fsintheta
(18)
f^'=dsintheta+fcostheta
(19)
g^'=g.
(20)

因此，可以通过设置使交叉项 2b^'x^'y^' 消失

b^'=b(cos^2theta-sin^2theta)-(c-a)sinthetacostheta
(21)
=bcos(2theta)-1/2(c-a)sin(2theta)=0.
(22)

为了使 b^' 为零，必须满足

cot(2theta)=(c-a)/(2b)=K.
(23)

然后借助恒等式给出其他分量

cos[cot^(-1)(x)]=x/(sqrt(1+x^2))
(24)

通过定义

L=K/(sqrt(1+K^2)),
(25)

所以

sintheta=sqrt((1-L)/2)
(26)
costheta=sqrt((1+L)/2).
(27)

按角度旋转

theta=1/2cot^(-1)((c-a)/(2b))
(28)

因此将 (◇) 转换为

a^'x^('2)+c^'y^('2)+2d^'x^'+2f^'y^'+g^'=0.
(29)

配方法,

a^'(x^('2)+(2d^')/(a^')x)+c^'(y^('2)+(2f^')/(c^')y^')+g^'=0
(30)
a^'(x^'+(d^')/(a^'))^2+c^'(y^'+(f^')/(c^'))^2=-g^'+(d^('2))/(a^')+(f^('2))/(c^').
(31)

定义 x^('')=x^'+d^'/a^', y^('')=y^'+f^'/c^', 和 g^('')=-g^'+d^('2)/a^'+f^('2)/c^' 得到

a^'x^(''2)+c^'y^(''2)=g^('').
(32)

如果 g^('')!=0，则两边除以 g^('')。定义 a^('')=a^'/g^('') 和 c^('')=c^'/g^('') 然后得到

a^('')x^(''2)+c^('')y^(''2)=1.
(33)

因此，在适当的坐标系中，一般的圆锥曲线可以写成（去掉撇号）

{ax^2+cy^2=1 a,c,g!=0; ax^2+cy^2=0 a,c!=0, g=0.
(34)

考虑形式为 ax^2+2bxy+cy^2=1 的方程，其中 b!=0。使用 t_1 和 t_2 以形式重新表达它

ax^2+2bxy+cy^2=t_1x^('2)+t_2y^('2).
(35)

因此，旋转坐标系

[x^'; y^']=[costheta sintheta; -sintheta costheta][x; y],
(36)

所以

ax^2+2bxy+cy^2=t_1x^('2)+t_2y^('2) =t_1(x^2cos^2theta+2xycosthetasintheta+y^2sin^2theta)+t_2(x^2sin^2theta-2xysinthetacostheta+y^2cos^2theta) =x^2(t_1cos^2theta+t_2sin^2theta)+2xycosthetasintheta(t_1-t_2)+y^2(t_1sin^2theta+t_2cos^2theta)
(37)

和

a=t_1cos^2theta+t_2sin^2theta
(38)
b=(t_1-t_2)costhetasintheta=1/2(t_1-t_2)sin(2theta)
(39)
c=t_1sin^2theta+t_2cos^2theta.
(40)

因此，

a+c=(t_1cos^2theta+t_2sin^2theta)+(t_1sin^2theta+t_2cos^2theta)
(41)
=t_1+t_2
(42)
a-c=t_1cos^2theta+t_2sin^2theta-t_1sin^2theta-t_2cos^2theta
(43)
=(t_1-t_2)(cos^2theta-sin^2theta)
(44)
=(t_1-t_2)cos(2theta).
(45)

从 (39) 和 (45)，

(a-c)/b=((t_1-t_2)cos(2theta))/(1/2(t_1-t_2)sin(2theta))=2cot(2theta),
(46)

与之前的角度相同。但是

cos(2theta)=cos[cot^(-1)((a-c)/(2b))]
(47)
=cos[tan^(-1)((2b)/(a-c))]
(48)
=1/(sqrt(1+((2b)/(a-c))^2)),
(49)

所以

a-c=(t_1-t_2)/(sqrt(1+((2b)/(a-c))^2)).
(50)

重写并复制 (◇)，

t_1-t_2=(a-c)sqrt(1+((2b)/(a-c))^2)
(51)
=sqrt((a-c)^2+4b^2)
(52)
t_1+t_2=a+c.
(53)

将 (52) 和 (53) 相加得到

t_1=1/2[a+c+sqrt((a-c)^2+4b^2)]
(54)
t_2=a+c-t_1=1/2[a+c-sqrt((a-c)^2+4b^2)].
(55)

请注意，这些根也可以从

(t-t_1)(t-t_2)=t^2-t(t_1+t_2)+t_1t_2=0
(56)
t^2-t(a+c)+1/4{(a+c)^2-[(a-c)^2+4b^2]}
(57)
=t^2-t(a+c)+1/4[a^2+2ac+c^2-a^2+2ac-c^2-4b^2]
(58)
=t^2-t(a+c)+(ac-b^2)=(a-t)(c-t)-b^2
(59)
=|a-t b; b c-t|=(a-t)(c-t)-b^2=0.
(60)

因此，原始问题等价于寻找以下方程的解

[a b; b c][x; y]=t[x; y]
(61)
[ax bx; by cy][x; y]=t[x^2; y^2],
(62)

这给出了联立方程

{ax^2+bxy=tx^2 ; bxy+cy^2=ty^2.
(63)

设 X 为旧坐标的任意点 (x,y)，(x^',y^') 为其新坐标。那么

ax^2+2bxy+cy^2=t_+x^('2)+t_-y^('2)=1
(64)

和

x^'=X^^_+·[x; y]
(65)
y^'=X^^_-·[x; y].
(66)

如果 t_+ 和 t_- 都 >0，则曲线是椭圆。如果 t_+ 和 t_- 都 <0，则曲线为空。如果 t_+ 和 t_- 具有相反的符号，则曲线是双曲线。如果其中一个为 0，则曲线是抛物线。

为了找到极坐标中二次曲线的一般形式（例如，如 Moulton 1970 中给出的），将 x=rcostheta 和 y=rsintheta 代入 (◇) 得到

ar^2cos^2theta+2br^2costhetasintheta+cr^2sin^2theta+2drcostheta+2frsintheta+g=0
(67)
(acos^2theta+2bcosthetasintheta+csin^2theta)+2/r(dcostheta+fsintheta)+g/(r^2)=0.
(68)

定义 u=1/r。对于 g!=0，我们可以除以 2g,

1/2u^2+1/g(dcostheta+fsintheta)u+1/(2g)(acos^2theta+2bcosthetasintheta+csin^2theta)=0.
(69)

应用二次公式得到

u=-d/gcostheta-f/gsintheta+/-sqrt(R),
(70)

其中

R=((dcostheta+fsintheta)^2)/(g^2)-4(1/2)(1/(2g))(acos^2theta+2bcosthetasintheta+csin^2theta)
(71)
=(d^2)/(g^2)cos^2theta+(2df)/(g^2)costhetasintheta+(f^2)/(g^2)sin^2theta-1/g(acos^2theta+2bcosthetasintheta+csin^2theta).
(72)

使用三角恒等式

sin^2theta=1-cos^2theta
(73)
sin(2theta)=2sinthetacostheta,
(74)

由此可见

R=((d^2)/(g^2)-a/g-(f^2)/(g^2)+c/g)cos^2theta+((df)/(g^2)-b/g)sin(2theta)+((f^2)/(g^2)-c/g)
(75)
=1/2[1+cos(2theta)](d^2-ag-f^2+cg)/(g^2)+sin(2theta)((df-bg)/(g^2))+(f^2-cg)/(g^2)
(76)
=(d^2-ag-f^2+cg)/(2g^2)cos(2theta)+(df-bg)/(g^2)sin(2theta)+(d^2-ag-f^2+cg+2f^2-2cg)/(2g^2).
(77)

定义

A=-f/g
(78)
B=-d/g
(79)
C=(df-bg)/(g^2)
(80)
D=(d^2-f^2+cg-ag)/(2g^2)
(81)
E=(d^2+f^2-ag-cg)/(2g^2)
(82)

然后给出方程

u=1/r=Asintheta+Bcostheta+/-sqrt(Csin(2theta)+Dcos(2theta)+E)
(83)

（Moulton 1970）。如果 g=0，则 (◇) 变为

u=1/r=-(acos^2theta+2bcosthetasintheta+csin^2theta)/(2(dcostheta+fsintheta)).
(84)

因此，极坐标中二次曲线的一般形式由下式给出

u={Asintheta+Bcostheta for g!=0; +/-sqrt(Csin(2theta)+Dcos(2theta)+E) ; -(acos^2theta+2bcosthetasintheta+csin^2theta)/(2(dcostheta+fsintheta)) for g=0.
(85)

另请参阅

代数曲线, 圆锥曲线, 三次曲线, 椭圆曲线, 二次, 二次曲线判别式

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参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学表，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 200-201, 1987.Casey, J. "二阶通用方程。" Ch. 4 in 关于点、线、圆和圆锥曲线的解析几何的论文，包含其最新扩展的说明，以及大量示例，第 2 版，修订和扩充。 Dublin: Hodges, Figgis, & Co., pp. 151-172, 1893.Moulton, F. R. "双星中的力定律" 和 "第二定律的几何解释"。§58 和 59 in 天体力学导论，第二版修订版。 New York: Dover, pp. 86-89, 1970.

在 Wolfram|Alpha 上引用

二次曲线

请引用为

Weisstein, Eric W. "二次曲线。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/QuadraticCurve.html

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