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弧长

弧长定义为沿曲线的长度，

s=int_gamma|dl|,
(1)

其中 dl 是沿曲线 gamma 的微分位移向量。 例如，对于半径为 r 的圆，角度为 theta_1 和 theta_2 (以弧度为单位测量) 两点之间的弧长为

s=r|theta_2-theta_1|.
(2)

定义线元素 ds^2=|dl|^2，用参数 t 参数化曲线，并注意到 ds/dt 仅仅是 速度 的大小，半径向量 半径向量 r 的末端以该速度移动，得到

s=int_a^bds=int_a^b(ds)/(dt)dt=int_a^b|r^'(t)|dt.
(3)

在 极坐标中，

dl=r^^dr+rtheta^^dtheta=((dr)/(dtheta)r^^+rtheta^^)dtheta,
(4)

所以

ds=|dl|=sqrt(r^2+((dr)/(dtheta))^2)dtheta
(5)
s=int|dl|=int_(theta_1)^(theta_2)sqrt(r^2+((dr)/(dtheta))^2)dtheta.
(6)

在 笛卡尔坐标中，

dl=dxx^^+dyy^^
(7)
ds=|dl|
(8)
=sqrt(dx^2+dy^2)
(9)
=sqrt(((dy)/(dx))^2+1)dx.
(10)

因此，如果曲线写成

r(x)=xx^^+f(x)y^^,
(11)

那么

s=int_a^bsqrt(1+f^('2)(x))dx.
(12)

如果曲线改为写成

r(t)=x(t)x^^+y(t)y^^,
(13)

那么

s=int_a^bsqrt(x^('2)(t)+y^('2)(t))dt.
(14)

在三维空间中，

r(t)=x(t)x^^+y(t)y^^+z(t)z^^,
(15)

所以

s=int_a^bsqrt(x^('2)(t)+y^('2)(t)+z^('2)(t))dt.
(16)

极坐标曲线 r=r(theta) 的弧长由下式给出

s=int_(theta_1)^(theta_2)sqrt(r^2+((dr)/(dtheta))^2)dtheta.
(17)

另请参阅

曲率, 测地线, 法向量, 曲率半径, 挠率半径, 速度, 表面积, 切线角, 切向量, 挠率, 速度 在 课堂中探索这个主题

使用 探索

请按如下方式引用：

Weisstein, Eric W. "Arc Length." 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ArcLength.html

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