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内切圆半径

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多边形的内切圆或多面体的内切球的半径，用 r 或有时用 rho (Johnson 1929) 表示。拥有内切圆的多边形被认为是可内接的或相切的。

具有 n 条边和边长为 a 的正多边形的内切圆半径由下式给出

r=1/2acot(pi/n).
(1)

下表总结了一些非正可内接多边形的内切圆半径。

多边形内切圆半径
3, 4, 5 三角形1
30-60-90 三角形1/4a(sqrt(3)-1)
双心四边形(sqrt(abcd))/s
菱形(ab)/(sqrt(a^2+b^2))
黄金三角形1/2bsqrt(5-2sqrt(5))
等腰直角三角形a(1-1/2sqrt(2))
等腰三角形(a(sqrt(a^2+4h^2)-a))/(4h)
筝形a/(2sqrt(2))
菱形(pq)/(2sqrt(p^2+q^2))
直角三角形(ab)/(a+b+sqrt(a^2+b^2))
切线四边形(sqrt(p^2q^2-(a-b)^2(a+b-s)^2))/(2s)

对于三角形，

r=1/2sqrt(((b+c-a)(c+a-b)(a+b-c))/(a+b+c))
(2)
=Delta/s
(3)
=4Rsin(1/2A)sin(1/2B)sin(1/2C),
(4)

其中 Delta 是三角形的面积，a、b 和 c 是边长，s 是半周长，R 是外接圆半径，A、B 和 C 是边 a、b 和 c 的对角（Johnson 1929，第 189 页）。如果已知三角形的两条边长 a 和 b，以及内切圆半径 r，则可以通过求解 (1) 中的 c 来找到第三条边 c 的长度，从而得到一个三次方程。

方程 (◇) 可以使用三线坐标轻松推导出来。由于内心到三条边的距离相等，因此其三线坐标为 1:1:1，其精确三线坐标为 r:r:r。精确三线坐标与齐次坐标的比率 k 由下式给出

k=(2Delta)/(a+b+c)=Delta/s.
(5)

但由于在这种情况下 k=r，

r=k=Delta/s,
(6)

证毕。

其他涉及内切圆半径的方程包括

r=(abc)/(4sR)
(7)
=(Delta^2)/(r_1r_2r_3)
(8)
=R(cosA+cosB+cosC-1)
(9)

其中 s 是半周长，R 是外接圆半径，r_i 是旁切圆半径，参考自参考三角形 (Johnson 1929, pp. 189-191)。

设 d 为内切圆半径 r 和外接圆半径 R 之间的距离，d=rR^_。那么欧拉三角形公式指出

R^2-d^2=2Rr,
(10)

或等价地

1/(R-d)+1/(R+d)=1/r
(11)

（Mackay 1886-87；Casey 1888，pp. 74-75）。Johnson (1929，pp. 186-190) 给出了这些以及许多其他恒等式。

对于柏拉图或阿基米德立体，对偶多面体的内切圆半径 r_d 可以用立体的外接圆半径 R、中间半径 rho=rho_d 和边长 a 表示为

r_d=(rho^2)/(sqrt(rho^2+1/4a^2))
(12)
=(R^2-1/4a^2)/R,
(13)

这些半径服从

Rr_d=rho^2.
(14)

另请参阅

卡诺定理, 外接圆半径, 欧拉三角形公式, 日本定理, 中间半径

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参考文献

Casey, J. 欧几里得《几何原本》前六卷的续篇，包含现代几何的简易入门以及大量例题，第五版，修订和扩充版。 Dublin: Hodges, Figgis, & Co., 1888.Coxeter, H. S. M. 和 Greitzer, S. L. 重访几何学。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., p. 10, 1967.Johnson, R. A. 现代几何学：关于三角形和圆的几何学的初等论述。 Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929.Mackay, J. S. "关于几何定理及其发展的历史注释 [18 世纪]." Proc. Edinburgh Math. Soc. 5, 62-78, 1886-1887.Mackay, J. S. "与三角形的内切圆和旁切圆半径相关的公式。" Proc. Edinburgh Math. Soc. 12, 86-105, 1893.Mackay, J. S. "与三角形的内切圆和旁切圆半径相关的公式。" Proc. Edinburgh Math. Soc. 13, 103-104, 1894.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

内切圆半径

请引用为

Weisstein, Eric W. "Inradius." 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/Inradius.html

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