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精确三线坐标

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三线坐标 alpha:beta:gamma 相对于参考三角形的点 P 与三角形边线的有向距离 a^':b^':c^' 成比例，但不确定到比例常数 k，即，

a^'=kalpha
(1)
b^'=kbeta
(2)
c^'=kgamma.
(3)

常数 k 由下式给出

k=(2Delta)/(aalpha+bbeta+cgamma),
(4)

其中 Delta=rs 是 DeltaABC 的三角形面积，r 是内切圆半径，s 是半周长，a、b 和 c 是其边长。

有向距离 a^'、b^'、c^' 本身被称为“精确”（或“实际”）三线坐标，并表示为 (a^',b^',c^')。因此，如果给出点 P 的三线坐标 alpha:beta:gamma，则其精确三线坐标 (a^',b^',c^') 可以根据下式计算

a^'=(2alphaDelta)/(aalpha+bbeta+cgamma)
(5)
b^'=(2betaDelta)/(aalpha+bbeta+cgamma)
(6)
c^'=(2gammaDelta)/(aalpha+bbeta+cgamma)
(7)

(Sommerville 1961, p. 157; Eddy and Fritsch 1994; Kimberling 1998, p. 28)。请注意，无穷远线上的点没有精确三线坐标。

下表总结了一些三角形中心的精确三线坐标，其中 R 是外接圆半径，r 是内切圆半径。

三角形中心精确三线坐标
外心(1/2acotA,1/2bcotB,1/2ccotC), (RcosA,RcosB,RcosC), (((-a^2+b^2+c^2)R)/(2bc),((-b^2+c^2+a^2)R)/(2ac),((-c^2+a^2+b^2)R)/(2ab))
内心((abc)/(2(a+b+c)R),(abc)/(2(a+b+c)R),(abc)/(2(a+b+c)R)), (r,r,r)
九点圆圆心(1/2Rcos(B-C),1/2Rcos(C-A),1/2Rcos(A-B))
垂心(([a^4-(b^2-c^2)^2]R)/(2a^2bc),([b^4-(c^2-a^2)^2]R)/(2b^2ca),([c^4-(a^2-b^2)^2]R)/(2c^2ab)), (2RcosBcosC,2RcosCcosA,2RcosAcosB)
Spieker 中心(((b+c)bc)/(2(a+b+c)R),((a+c)ac)/(2(a+b+c)R),((a+b)ab)/(2(a+b+c)R)), (((b+c)r)/(2a),((c+a)r)/(2b),((a+b)r)/(2a))
外切点((a^2bc)/(2(a^2+b^2+c^2)R),(b^2ca)/(2(b^2+c^2+a^2)R),(c^2ab)/(2(c^2+a^2+b^2)R))
三角形质心((bc)/(6R),(ca)/(6R),(ab)/(6R))

参见

面积坐标, 重心坐标, 参考三角形, 三线坐标

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参考文献

Eddy, R. H. and Fritsch, R. "The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle." Math. Mag. 67, 188-205, 1994.Kimberling, C. "Triangle Centers and Central Triangles." Congr. Numer. 129, 1-295, 1998.Sommerville, D. M. Y. Analytical Conics, 3rd ed. London: G. Bell and Sons, 1961.

在 上引用

精确三线坐标

请引用为

Weisstein, Eric W. "精确三线坐标。" 来自 Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ExactTrilinearCoordinates.html

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