极坐标

极坐标 (径向坐标) 和 (角坐标，通常称为极角) 是根据笛卡尔坐标定义的，通过

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其中 是从原点的径向距离，而 是从x轴逆时针方向的角度。用 和 表示，

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(这里， 应解释为双参数反正切函数，它考虑 和 的符号，以确定 所在的象限。) 由此立即得出，极坐标并非本质上是唯一的；特别地，对于任何整数 ， 将与 完全是相同的极坐标点。更重要的是，人们常常允许 的负值，前提是 的绘制方式与 相同。

将点表示为有序对 称为极坐标表示法，用极坐标表示的曲线方程称为极坐标方程，而极坐标曲线的绘图称为极坐标图。

正如笛卡尔曲线可以在直线坐标轴上绘制一样，极坐标图也可以在径向坐标轴上绘制，如上图所示。

由 给出的极坐标曲线的弧长是

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线元素由下式给出

(6)

面积元素由下式给出

(7)

由极坐标曲线 围成的面积是

(8)

极坐标函数 在点 处的斜率由下式给出

(9)

在点 处，切线和径向线之间的角度是

(10)

如果在极坐标曲线的方程中用 替换 后得到等价方程，则该极坐标曲线关于x轴对称；如果在其方程中用 替换 后得到等价方程，则该极坐标曲线关于y轴对称；如果在其方程中用 替换 后得到等价方程，则该极坐标曲线关于原点对称。

在笛卡尔坐标中，半径向量 是

(11)

给出导数

(12)

它的单位向量是

(13)

给出导数

(14)

在极坐标中，半径向量由下式给出

(15)

给出导数

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			(19)

单位向量是

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给出导数

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通过欧拉公式，复数 根据其复模 和其复角 的图形表示与极坐标密切相关。实际上，阿根图 这样的 可以很容易地看出类似于通常的极坐标图。