笛卡尔坐标

笛卡尔坐标是直线二维或三维坐标（因此是曲线坐标的特例），也称为直角坐标。二维笛卡尔坐标的两个轴，通常表示为 x-轴和 y-轴（符号归功于笛卡尔），被选择为线性的并且相互垂直。通常，-轴被认为是“左右”或水平轴，而 -轴被认为是“上下”或垂直轴。在二维中，坐标 和 可以位于区间 中的任何位置，并且二维笛卡尔坐标中的有序对 通常称为点或 2-向量。

三维笛卡尔坐标系是二维版本的自然扩展，通过添加第三个“进出”轴，该轴与上面定义的 -轴和 -轴相互垂直。这个新轴通常被称为 z-轴，坐标 可以位于区间 中的任何位置。三维笛卡尔坐标中的有序三元组 通常称为点或 3-向量。

在勒内·笛卡尔 (René Descartes) 描述平面曲线坐标的原始论文 (1637) 中，省略了轴，并且仅考虑了 -坐标和 -坐标的正值，因为它们被定义为点之间的距离。对于椭圆，这意味着，与我们现在绘制的完整图片（左图）不同，笛卡尔只绘制了上半部分（右图）。

三维笛卡尔坐标的反演称为 6 球坐标。

笛卡尔坐标的比例因子均为单位 1，。线元素由下式给出

(1)

体积元素由下式给出

(2)

梯度具有特别简单的形式，

(3)

拉普拉斯算子也是如此

(4)

向量拉普拉斯算子是

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散度是

(7)

旋度是

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梯度的散度是

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拉普拉斯方程在笛卡尔坐标系中是可分离的。