三线坐标

给定一个参考三角形 ，点 相对于 的三线坐标是一个有序的三元组数字，每个数字与点 到其中一条边的有向距离成比例。三线坐标表示为 或 ，也称为齐次坐标或“三线”。三线坐标由普吕克在 1835 年引入。由于只有距离的比率是重要的，因此将给定的三线坐标三元组乘以任何非零常数所获得的三元组描述的是同一个点，因此

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为了简单起见，三角形的三个多边形顶点 、 和 通常分别写为 、 和 。

三线坐标可以被归一化，使其给出从 到每条边的实际有向距离。为了执行归一化，设上图中的点 具有三线坐标 ，并且到边 、 和 的距离分别为 、 和 。那么距离 、 和 可以通过将 写为 的面积，并且对于 和 类似。然后我们有

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所以

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其中 是 的面积， 、 和 是其边长（Kimberling 1998，第 26-27 页）。要获得给出实际距离的三线坐标，取 ，所以我们得到坐标

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这些归一化的三线坐标被称为精确三线坐标。

直线的三线坐标

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是

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其中 是从多边形顶点 到直线的点到直线距离。

对应于三线坐标 的齐次重心坐标是 ，而对应于齐次重心坐标 的三线坐标是 。

三角形的重要点 被称为三角形中心，而描述点的位置与边长、角或两者相关的向量函数被称为三角形中心函数 。由于根据对称性，三角形中心函数的形式为

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通常将标量函数 称为“三角形中心”函数。另请注意，边长和角可以通过余弦定理相互转换，因此三角形中心函数可以用边长、角或两者来表示。下表总结了一些常见三角形中心的三线坐标，其中 、 和 是对应顶点的角，而 、 和 是对边边长。这里，选择归一化以给出简单的形式。

三角形中心	三角形中心函数
外心
德朗尚点
等周点
费尔巴哈点
内心	1
等周长点
外切圆点
九点中心
垂心
三角形重心	,

在三线坐标中，顶点的坐标为 1:0:0 ()、 0:1:0 () 和 0:0:1 ()。沿边线延伸距离 的三线坐标如上图所示。

沿边线的 、 和 分数距离处的点的三线坐标在上面的图中给出，其中 。

位于沿边线 从 到 的距离的 分数处的点具有三线坐标

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为了确定三线坐标到笛卡尔坐标的转换，将三角形定向为 轴平行于 轴，并且其内心位于原点，如上图所示。然后

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其中

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是内切圆半径， 是三角形面积，并且

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（Kimberling 1998，第 31-33 页）。

更一般地，要将三线坐标转换为给定三角形的向量位置，该三角形由其轴的 和 坐标指定，沿边选取两个单位向量。例如，选取

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其中这些是单位向量 和 。假设三角形已被标记，使得 是右上角多边形顶点，而 。然后，通过沿边线行进 和 然后向内垂直于它们的向量必须相交

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解方程组

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得到

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但是 和 是单位向量，所以

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然后点 的向量坐标为

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