椭圆曲线

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通俗地说，椭圆曲线是一种三次曲线，其解被限制在拓扑等价于环面的空间区域内。 Weierstrass 椭圆函数描述了如何从这个环面得到椭圆曲线的代数形式。

形式上，域上的椭圆曲线是两个变量的非奇异三次曲线，具有 -有理点（可能是无穷远点）。域通常取为复数，实数，有理数，的代数扩张，p-adic 数，或有限域。

通过适当的变量替换，特征的域上的通用椭圆曲线，通用三次曲线

(1)

其中、、... 是的元素，可以写成以下形式

(2)

其中 (2) 式的右侧没有重复因子。任何特征不为 2 或 3 的椭圆曲线也可以写成勒让德标准形

(3)

(Hartshorne 1999)。

上面展示了不同和值的椭圆曲线。

如果的特征为 3，那么最好的情况是将曲线转换为

(4)

（项无法消除）。如果的特征为 2，那么情况更糟。任何上椭圆曲线可以转换成的通用形式称为 Weierstrass 形式，由下式给出

(5)

其中、、、和是的元素。幸运的是，、和的特征均为零。

对于整数，形式为的椭圆曲线称为 Mordell 曲线。

虽然圆锥曲线可以用有理函数参数化，但椭圆曲线不能。最简单的参数化函数是椭圆函数。阿贝尔簇可以看作是椭圆曲线的推广。

如果椭圆曲线的基础域是代数闭域，则直线与椭圆曲线相交于三个点（在切点处计算重根）。如果已知两个点，则可以计算出第三个点。如果两个交点是 -有理点，那么第三个点也是。 Mazur 和 Tate (1973/74) 证明，在上不存在阶数为 13 的有理点的椭圆曲线。

令和是椭圆曲线上的两个点，椭圆判别式为

(6)

满足

(7)

一个相关的量，称为 j-不变量，定义为

(8)

现在定义

$lambda={(y_1-y_2)/(x_1-x_2) for x_1!=x_2; (3x_1^2+a)/(2y_1) for x_1=x_2.$

(9)

那么第三个点的坐标是

			(10)
			(11)

对于上的椭圆曲线，Mordell 证明了积分解的数量是有限的。Mordell-Weil 定理指出，上椭圆曲线的有理点群是有限生成的。令的根为、和。那么判别式为

(12)

令人惊叹的谷山-志村猜想指出，所有有理椭圆曲线也是模的。这个事实远非显而易见，尽管该猜想是在 1955 年提出的，但直到 1995 年才被部分证明。即便如此，Wiles 对半稳定情况的证明仍然让大多数数学家感到惊讶，他们曾认为这个猜想是不可攻克的。作为额外的收获，Wiles 对谷山-志村猜想的证明也解决了困扰数学家数百年的著名且棘手的问题——费马最后定理。

具有小 j-导子的曲线列在 Swinnerton-Dyer (1975) 和 Cremona (1997) 中。 Gebel 等人以及 Stroeker 和 Tzanakis (1994) 给出了计算积分点（具有积分坐标的点）的方法。Schoof-Elkies-Atkin 算法可用于确定有限域上椭圆曲线的阶。

另请参阅

三次曲线, 椭圆曲线分解法, 椭圆曲线群法则, 费马最后定理, Frey 曲线, j-不变量, 勒让德标准形, 最小判别式, Mordell 曲线, Mordell-Weil 定理, Ochoa 曲线, Ribet 定理, Schoof-Elkies-Atkin 算法, Siegel 定理, Swinnerton-Dyer 猜想, 谷山-志村猜想, Weierstrass 椭圆函数, Weierstrass 形式在 MathWorld 课堂中探索这个主题

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参考文献

Atkin, A. O. L. and Morain, F. "Elliptic Curves and Primality Proving." Math. Comput. 61, 29-68, 1993.Cassels, J. W. S. 椭圆曲线讲义。 New York: Cambridge University Press, 1991.Cremona, J. E. 模椭圆曲线算法，第二版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1997.Cremona, J. E. "椭圆曲线数据。" http://modular.fas.harvard.edu/cremona/INDEX.html.Du Val, P. 椭圆函数与椭圆曲线。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1973.Fermigier, S. "关于椭圆曲线和相关主题研究文章的链接集合。" http://www.fermigier.com/fermigier/elliptic.html.en.Gebel, J.; Pethő, A.; and Zimmer, H. G. "计算椭圆曲线上的积分点。" Acta Arith. 68, 171-192, 1994.Hartshorne, R. 代数几何。 New York: Springer-Verlag, 1999.Ireland, K. and Rosen, M. "椭圆曲线。" 第 18 章，现代数论经典导论，第二版。 New York: Springer-Verlag, pp. 297-318, 1990.Joye, M. "关于椭圆曲线的一些有趣参考文献。" http://www.geocities.com/MarcJoye/biblio_ell.html.Katz, N. M. and Mazur, B. 椭圆曲线的算术模。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 1985.Knapp, A. W. 椭圆曲线。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 1992.Koblitz, N. 椭圆曲线与模形式导论。 New York: Springer-Verlag, 1993.Lang, S. 椭圆曲线：丢番图分析。 Berlin: Springer-Verlag, 1978.Mazur, B. and Tate, J. "椭圆曲线上阶数为 13 的点。" Invent. Math. 22, 41-49, 1973/74.McKean, H. and Moll, V. 椭圆曲线：函数论、几何、算术。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999.Riesel, H. "椭圆曲线。" 附录 7，素数与计算机分解方法，第二版。 Boston, MA: Birkhäuser, pp. 317-326, 1994.Silverman, J. H. 椭圆曲线的算术。 New York: Springer-Verlag, 1986.Silverman, J. H. 椭圆曲线的算术 II。 New York: Springer-Verlag, 1994.Silverman, J. H. and Tate, J. T. 椭圆曲线上的有理点。 New York: Springer-Verlag, 1992.Stillwell, J. "椭圆曲线。" Amer. Math. Monthly 102, 831-837, 1995.Stroeker, R. J. and Tzanakis, N. "通过估计椭圆对数中的线性形式求解椭圆丢番图方程。" Acta Arith. 67, 177-196, 1994.Swinnerton-Dyer, H. P. F. "更正：'关于模形式系数的 1-adic 表示和同余'。" 在 单变量模函数，第 4 卷，国际理论物理暑期学校论文集，安特卫普大学，安特卫普，RUCA，1972 年 7 月至 8 月。 Berlin: Springer-Verlag, 1975.Weisstein, E. W. "关于椭圆曲线的书籍。" http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/EllipticCurves.html.

在 Wolfram|Alpha 中引用

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Weisstein, Eric W. “椭圆曲线。” 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/EllipticCurve.html

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