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法向量

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法向量，通常简称为“法线”，是与曲面上给定点垂直的 向量。 当在闭合曲面上考虑法向量时，通常区分指向内部的内向法向量和指向外部的外向法向量。

通过归一化法向量（即将非零法向量除以其 向量范数）获得的 单位向量 是单位法向量，通常简称为“单位法线”。 应注意不要混淆术语“向量范数”（向量的长度）、“法向量”（垂直向量）和“归一化向量”（单位长度向量）。

法向量通常用 N 或 n 表示，有时（但不总是）添加一个 帽子 符号（即 N^^ 和 n^^）来明确指示单位法向量。

在曲面 z=f(x,y) 上的点 (x_0,y_0) 处的法向量由下式给出

N=[f_x(x_0,y_0); f_y(x_0,y_0); -1],
(1)

其中 f_x=partialf/partialx 和 f_y=partialf/partialy 是 偏导数。

一个由下式指定的 平面 的法向量

f(x,y,z)=ax+by+cz+d=0
(2)

由下式给出

N=del f=[a; b; c],
(3)

其中 del f 表示 梯度。 通过点 (x_0,y_0,z_0) 且法向量为 n=(a,b,c) 的平面的方程由下式给出

[a; b; c]·[x-x_0; y-y_0; z-z_0]=a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
(4)

对于平面曲线，单位法向量可以定义为

N^^=(dT^^)/(dphi),
(5)

其中 T^^ 是单位 切向量，phi 是 极角。 给定一个单位 切向量

T^^=u_1x^^+u_2y^^
(6)

其中 sqrt(u_1^2+u_2^2)=1，法向量为

N^^=-u_2x^^+u_1y^^.
(7)

对于参数给出的平面曲线，相对于点 (f(t),g(t)) 的法向量由下式给出

x(t)=-(g^')/(sqrt(f^('2)+g^('2)))
(8)
y(t)=(f^')/(sqrt(f^('2)+g^('2))).
(9)

要实际放置与曲线垂直的向量，必须将其位移 (f(t),g(t))。

对于空间曲线，单位法向量由下式给出

N^^=((dT^^)/(ds))/(|(dT^^)/(ds)|)
(10)
=((dT^^)/(dt))/(|(dT^^)/(dt)|)
(11)
=1/kappa(dT^^)/(ds),
(12)

其中 T^^ 是 切向量，s 是 弧长，kappa 是 曲率。 它也可以由下式给出

N^^=B^^xT^^,
(13)

其中 B^^ 是 双法向量（Gray 1997，第 192 页）。

对于参数化为 x(u,v) 的曲面，法向量由下式给出

N=(partialx)/(partialu)x(partialx)/(partialv).
(14)

给定一个由 F(x,y,z)=0 隐式定义的三维曲面，

n^^=(del F)/(sqrt(F_x^2+F_y^2+F_z^2)).
(15)

如果曲面以参数形式定义为

x=x(phi,psi)
(16)
y=y(phi,psi)
(17)
z=z(phi,psi),
(18)

定义 向量

a=[x_phi; y_phi; z_phi]
(19)
b=[x_psi; y_psi; z_psi].
(20)

那么单位法向量是

N^^=(axb)/(sqrt(|a|^2|b|^2-|a·b|^2)).
(21)

令 g 为 度量张量 的判别式。 则

N=(r_1xr_2)/(sqrt(g))=epsilon_(ij)r^j.
(22)

另请参阅

双法向量, 接触角, 曲率, 弗雷内公式, 多元微积分, 范数, 切向量, 挠率 在 MathWorld 课堂中探索这个主题

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Gray, A. “平面曲线的切线和法线”。 《使用 Mathematica 的曲线和曲面的现代微分几何》第 2 版第 5.5 节。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 108-111, 1997。

在 Wolfram|Alpha 上引用

法向量

请引用为

Weisstein, Eric W. “法向量”。 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/NormalVector.html

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