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九点圆

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Nine-PointCircle

九点圆，也称为欧拉圆或费尔巴哈圆，是穿过任意参考三角形 DeltaABC 的顶点向对边所作垂足 H_A, H_B, 和 H_C 的圆。欧拉在 1765 年证明它也穿过 DeltaABC 各边的中点 M_A, M_B, M_C。根据费尔巴哈定理，九点圆也穿过连接顶点和垂心 H 的线段的中点 E_A, E_B, 和 E_C。这些点通常被称为欧拉点。

这三组点总共构成九个点，因此该圆得名。

九点圆是外接圆的补圆。

九点圆具有圆函数

l=-1/2cosA,
(1)

给出方程

calphabeta+abetagamma+bgammaalpha-1/2(aalpha+bbeta+cgamma)(alphacosA+betacosB+gammacosC)=0.
(2)

九点圆的圆心 N 称为九点圆圆心，是 Kimberling 中心 X_5。九点圆的半径是

R_N=1/2R,
(3)

其中 R 是参考三角形的外接圆半径。

两个费马点 X 和 X^' 的中点位于九点圆上，由三角形的顶点及其垂足三角形确定的角三角形的欧拉线的交点也位于九点圆上。九点圆也穿过 Kimberling 中心 X_i，其中 i=11 （费尔巴哈点），113, 114, 115 （Kiepert 双曲线的中心），116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125 （Jerabek 双曲线的中心），126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 1312, 1313, 1560, 1566, 2039, 2040 和 2679。

它与Stevanović 圆正交。

九点圆平分从垂心到外接圆上任意点的线段。

如果 I 是内心，J_A, J_B, 和 J_C 是参考三角形 DeltaABC 的外心，那么三角形 DeltaJ_AJ_BJ_C, DeltaIJ_BJ_C, DeltaIJ_CJ_A, 和 DeltaIJ_AJ_B 的九点圆都与 DeltaABC 的外接圆重合。

FeuerbachTriangle

参考三角形的内切圆和三个外切圆都与九点圆相切。此外，九点圆上与外切圆相切的三个点构成费尔巴哈三角形的顶点 (Kimberling 1998, p. 158)。

NinePointCircles

给定四个任意点，每次取三个点形成的三角形的四个九点圆是共点的 (Lemoine 1904; Wells 1991, p. 209; Schröder 1999)。此外，如果四个点不构成垂心组，则存在唯一一条穿过它们的直角双曲线，其中心由每次取三个点的九点圆的交点给出 (Wells 1991, p. 209)。最后，四个九点圆的交点也是从四个点中的每一个点向由其他三个点组成的三角形的边所作垂线的垂足所确定的四个圆的交点 (Schröder 1999)。

在一个三角形中，顶点关于九点圆的圆幂之和为

p_A+p_B+p_C=1/4(a^2+b^2+c^2).
(4)

此外，

NA^2+NB^2+NC^2+NH^2=3R^2,
(5)

其中 N 是九点圆圆心，H 是垂心，R 是外接圆半径。

所有内接于给定圆且具有相同垂心的三角形都具有相同的九点圆。

九点圆的透视中心是中心函数为

alpha=1/(a(-a^4+b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2))
(6)

(F. van Lamoen, 私人通讯，1 月 28 日，2005 年)，它不是 Kimberling 中心，而是 X_(1078) 的等角共轭点，并且位于直线 (4, 160), (5, 141), (53, 232), (66, 2548), (184, 2980), (232, 427), 和 (311, 325) 上。

另请参阅

阿波罗尼奥斯点, 完全四边形, 八点圆定理, 欧拉点, 费尔巴哈定理, 费尔巴哈三角形, 丰特内定理, 格里菲斯定理, 哈特圆, 九点圆圆心, 九点圆锥曲线, 垂心组, 直角双曲线

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 上引用

九点圆

请引用为

Eric W. Weisstein. "九点圆." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源. https://mathworld.net.cn/Nine-PointCircle.html

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