单位圆

单位圆是半径为 1 的圆，即单位半径的圆。

单位圆在数学的许多不同领域中起着重要的作用。 例如，三角函数最简单地使用单位圆定义。 如上图所示，单位圆弧上以角度标准位置 角的终边上的点 的坐标为 ，因此 是 的水平坐标，而 是其垂直分量。

由于这个定义，三角函数是周期函数，周期为 。

这个定义的另一个直接结果是能够以很少的计算显式写出单位圆上许多点的坐标。 例如，在上图中，点 、、 和 分别对应于 、、 和 弧度的角，因此得出 、、 和 。 类似地，此方法可用于查找与 的整数倍相关的三角函数值，以及通过半角公式、倍角公式和其他多倍角公式获得的其他一些角的三角函数值。

单位圆也可以被认为是复平面中由 定义的轮廓，其中 表示复模。

单位圆的这个作用也有许多重要的结果，其中最重要的是在应用复分析中，Z 变换简化为离散傅里叶变换的复平面的子集。

从另一个角度来看，在双曲几何的庞加莱双曲盘和克莱因-贝尔特拉米模型中，单位圆被视为二维双曲平面 的所谓理想边界。 在这两种模型中，双曲平面都被视为开单位圆盘，因此单位圆代表 中序列的无限极限点的集合。