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维拉尔索圆

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通过P 在环面上的任意点可以绘制四个圆。前两个圆是显而易见的：一个是位于环面的平面内，第二个与它垂直。第三个和第四个圆（相对于环面倾斜）则更加出乎意料，被称为维拉尔索圆（Villarceau 1848, Schmidt 1950, Coxeter 1969, Melzak 1983）。

为了理解为什么存在另外两个圆，考虑一个坐标系，原点位于环面的中心，z^^ 指向上方。通过其角度 phi 来指定 P 的位置，phi 是绕环面管的测量角度。将 phi=0 定义为距离环面中心最远的点的圆（即，x^2+y^2=R^2 的点），并将 x轴 绘制为穿过 z轴 并经过 P 的平面与 xy 平面的交线。绕 y轴 旋转一个 角度 theta，其中

theta=sin^(-1)(a/c).
(1)

用旧坐标表示，新坐标为

x=x_1costheta-z_1sintheta
(2)
z=x_1sintheta+z_1costheta.
(3)

所以在 (x_1,y_1,z_1) 坐标系中，环面的方程 (◇) 变为

[sqrt((x_1costheta-z_1sintheta)^2+y_1^2)-c]^2+(x_1sintheta+z_1costheta)^2=a^2.
(4)

展开左侧得到

(x_1costheta-z_1sintheta)^2+y_1^2+c^2 -2csqrt((x_1costheta-z_1sintheta)^2+y_1^2)+(x_1sintheta+z_1costheta)^2=a^2.
(5)

但是

(x_1costheta-z_1sintheta)^2+(x_1sintheta+z_1costheta)^2=x_1^2+z_1^2,
(6)

所以

x_1^2+y_1^2+z_1^2+c^2-2csqrt((x_1costheta-z_1sintheta)^2+y_1^2)=a^2.
(7)

在 z_1=0 平面中，代入 (◇) 并因式分解得到

[x_1^2+(y_1-a)^2-c^2][x_1^2+(y_1+a)^2-c^2]=0.
(8)

这给出了圆

x_1^2+(y_1-a)^2=c^2
(9)

和

x_1^2+(y_1+a)^2=c^2
(10)

在 z_1 平面中。以 矩阵 形式，参数为 t in [0,2pi)，这些是

C_1=[ccost; csint+a; 0]
(11)
C_2=[ccost; csint-a; 0].
(12)

在原始 (x,y,z) 坐标系中，

C_1=[costheta 0 -sintheta; 0 1 0; -sintheta 0 costheta][ccost; csint+a; 0]
(13)
=[ccosthetacost; csint+a; -csinthetacost]
(14)
C_2=[costheta 0 sintheta; 0 1 0; -sintheta 0 costheta][ccost; csint-a; 0]
(15)
=[ccosthetacost; csint-a; -csinthetacost].
(16)

点 P 必须满足

z=asinphi=csinthetacost,
(17)

所以

cost=(asinphi)/(csintheta).
(18)

代入 x_1 和 y_1 得到 角度 psi，圆 必须绕 z轴 旋转该角度才能使其通过 P，

psi=tan^(-1)(y/x)=(csint+a)/(ccosthetacost)=(csqrt(1-cos^2t)+a)/(ccosthetacost).
(19)

因此，通过 P 的四个圆是

C_1=[cospsi sinpsi 0; -sinpsi cospsi 0; 0 0 1][ccosthetacost; csint+a; -csinthetacost]
(20)
C_2=[cospsi sinpsi 0; -sinpsi cospsi 0; 0 0 1][ccosthetacost; csint-a; -csinthetacost]
(21)
C_3=[(c+acosphi)cost; (c+acosphi)sint; asinphi]
(22)
C_4=[c+acost; 0; asint].
(23)

参见

环面

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参考文献

Coxeter, H. S. M. 几何学导论，第 2 版 纽约：Wiley，pp. 132-133, 1969.Kabai, S. 数学图形 I：使用 Mathematica 的计算机图形课程。 匈牙利普什珀克拉达尼：Uniconstant, p. 125, 2002.Melzak, Z. A. 几何学导引。 纽约：Wiley，pp. 63-72, 1983.Schmidt, H. 反演及其应用。 德国慕尼黑：Oldenbourg, 1950.Villarceau, M. "关于环面的定理。" Nouv. Ann. Math. 7, 345-347, 1848.

在 Wolfram|Alpha 中引用

维拉尔索圆

引用为

Weisstein, Eric W. "维拉尔索圆。" 来自 MathWorld--一个 Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/VillarceauCircles.html

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