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切萨罗方程

切萨罗方程是一种自然方程，它用曲线的弧长函数 s(t) 和曲率半径 rho(t) （或等效地，曲率 kappa(t)=1/rho(t)）来表示曲线。请注意，虽然切萨罗方程被称为是内在的，因为它在保持长度和角度的变换下是不变的，但它对于曲线来说不是内在的，因为它取决于从起点测量弧长，因此取决于参数化（有关示例，请参见下表）。

下表总结了某些曲线参数化的切萨罗方程（参见 Lawrence 1972 年，第 5 页和 Yates 1952 年，第 126 页）。

曲线参数化切萨罗方程
星形线x=acos^3trho^2+4s^2=6as
y=asin^3t
心脏线x=a(1-cost)cost9rho^2+s^2=8as
y=a(1-cost)sint
心脏线x=2a(1+cost)cost9rho^2+s^2=64a^2
y=2a(1+cost)sint
悬链线x=ta^2+s^2=arho
y=acosh(t/a)
圆x=acostrho=a
y=asint
圆的渐开线x=a(tsint+cost)rho^2=2as
y=a(sint-tcost)
摆线x=a(t-sint)rho^2+s^2=8as
y=a(1-cost)
摆线x=a(t+sint)rho^2+s^2=16a^2
y=a(1+cost)
德尔托曲线x=1/3a[2cost+cos(2t)]rho^2+9s^2=16as
y=1/3a[2sint-sin(2t)]
肾形线x=a[3cost-cos(3t)]4rho^2+s^2=12as
y=a[3sint-sin(3t)]
曳物线x=a(t-tanht)rho^2+a^2=a^2e^(2s/a)
y=asecht
契尔恩豪森三次曲线x=a(1-3t^2)arho(8rho^2+108(4a^2+s^2))
y=at(3-t^2)=27(4a^2+s^2)^2+108a^2rho^2

另请参阅

弧长, 自然方程, 曲率半径, Whewell 方程

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参考资料

Lawrence, J. D. 特殊平面曲线目录。纽约：Dover，第 4-5 页，1972 年。Yates, R. C. “内在方程。”曲线及其性质手册。密歇根州安娜堡：J. W. Edwards，第 123-126 页，1952 年。

在 Wolfram|Alpha 中引用

切萨罗方程

引用为

Weisstein, Eric W. “切萨罗方程。”来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/CesaroEquation.html

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