曲率

一般来说，曲率主要有两种重要的类型：外在曲率和内在曲率。二维和三维空间中曲线的外在曲率是历史上最早被研究的曲率类型，最终形成了弗雷内公式，该公式完全根据空间曲线的“曲率”、挠率以及初始起点和方向来描述空间曲线。

在研究了二维和三维曲线的曲率之后，注意力转向了三维空间中曲面的曲率。从这项研究中得出的主要曲率是平均曲率、高斯曲率和形状算子。平均曲率在当时的应用中最为重要，也是研究最多的，但高斯是第一个认识到高斯曲率重要性的人。

由于高斯曲率是“内在的”，因此对于曲面的二维“居民”来说是可以检测到的，而平均曲率和形状算子对于无法研究他所居住曲面周围的三维空间的人来说是无法检测到的。高斯曲率对于居民的重要性在于它控制着居民周围球体的表面积。

黎曼和许多其他人将曲率的概念推广到截面曲率、标量曲率、黎曼张量、里奇曲率张量以及许多其他内在和外在曲率。一般的曲率不再需要是数字，可以采用映射、群、格群、张量场等形式。

最简单的曲率形式，也是通常在微积分中首先遇到的曲率形式是外在曲率。在二维中，设平面曲线由笛卡尔参数方程 和 给出。那么曲率 ，有时也称为“第一曲率”（Kreyszig 1991，p. 47），定义为

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)

其中 是切向角， 是弧长。正如从定义中可以很容易看出的那样，曲率的单位是距离的倒数。上述方程中的 导数可以使用以下恒等式找到

			(5)
			(6)
			(7)

因此

(8)

并且

			(9)
			(10)
			(11)
			(12)

将方程 (◇)、3)、(10) 和 (12) 组合起来，得到

(13)

对于以 形式编写的二维曲线，曲率方程变为

(14)

如果二维曲线改为在极坐标中参数化，则

(15)

其中 （Gray 1997，p. 89）。在踏瓣坐标中，曲率由下式给出

(16)

由 隐式给出的二维曲线的曲率由下式给出

(17)

（Gray 1997）。

现在考虑三维空间中参数化的空间曲线 ，其切向量 定义为

(18)

因此，

			(19)
			(20)
			(21)

其中 是法向量。但是

			(22)
			(23)

因此，对两边取范数得到

(24)

求解 得到

			(25)
			(26)
			(27)

（Gray 1997，p. 192）。

二维曲线的曲率与曲线的密切圆的曲率半径有关。考虑一个由参数方程指定的圆

(28)

(29)

它在给定点与曲线相切。那么曲率为

(30)

或曲率半径的倒数。圆的曲率也可以用向量表示法重复。对于 的圆，弧长为

			(31)
			(32)
			(33)

因此 ，圆的方程可以重写为

(34)

(35)

那么半径向量由下式给出

(36)

切向量为

			(37)
			(38)

因此曲率与曲率半径 的关系为

			(39)
			(40)
			(41)
			(42)

正如预期的那样。

微分几何中与弗雷内公式相关的四个非常重要的导数关系是

			(43)
			(44)
			(45)
			(46)

其中 是切向量， 是法向量， 是副法向量， 是挠率 (Coxeter 1969, p. 322)。

当通过法线的平面变化时，曲面上一点的曲率会呈现出各种各样的值。当 变化时，它会达到最小值和最大值（它们在垂直方向），称为主曲率。正如 Coxeter (1969, pp. 352-353) 中所示，

(47)

(48)

其中 是高斯曲率， 是平均曲率，det 表示行列式。

曲率 有时称为第一曲率，挠率 称为第二曲率。此外，还定义了第三曲率（有时称为总曲率）

(49)

也被定义。出现在笛卡尔圆定理中的圆曲率的带符号版本，用于四个相互相切的圆中第四个圆的半径，称为弯曲度。