超球面

维超球面（通常简称为 维球体）是将圆（几何学家称之为 2 维球面）和通常的球面（几何学家称之为 3 维球面）推广到维度 的情况。 维球面因此被定义为（再次强调，对于几何学家而言；见下文）点的 元组 (, , ..., ) 的集合，使得

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其中 是超球面的半径。

不幸的是，几何学家和拓扑学家对于“ 维球面”的含义采用了不兼容的约定，几何学家指的是底层空间中坐标的数量（“因此二维球面是一个圆”，Coxeter 1973, p. 125），而拓扑学家指的是表面本身的维度（“ 维球面 被定义为 在 中满足 的所有点的集合”，Hocking 和 Young 1988, p. 17；“ 维球面 是 ”，Maunder 1997, p. 21）。因此，几何学家会将由下式描述的对象视为

(2)

2 维球面，而拓扑学家会将其视为 1 维球面并将其表示为 。类似地，几何学家会将由下式描述的对象视为

(3)

3 维球面，而拓扑学家会将其称为 2 维球面并将其表示为 。因此，在查阅文献时务必格外小心。根据文献，本文档中使用了两种约定，具体取决于上下文，并在可能存在歧义的地方明确指出。

令 表示 维超球面（在几何学家的意义上）的容积（即， 维体积），半径为 ，由下式给出

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其中 是单位半径的 维球面的超表面积。单位超球面必须满足

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但是，伽玛函数可以定义为

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所以

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对于整数 ， 的特殊形式允许将上述表达式写为

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其中 是阶乘，而 是双阶乘 (OEIS A072478 和 A072479)。

奇怪的是，对于单位超球面，超表面积达到最大值，然后随着 的增加而减小到 0。 最大超表面积的点满足

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其中 是双伽玛函数。这无法通过解析方式求解 ，但数值解是 (OEIS A074457; Wells 1986, p. 67)。因此，七维单位超球面具有最大超表面积 (Le Lionnais 1983; Wells 1986, p. 60)。

在四维中，球坐标的推广由下式给出

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因此，3 维球面 的方程为

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并且线元素是

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通过定义 ，线元素可以重写为

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因此，超表面积由下式给出

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