无限边形

无限边形是 正多边形 定义的扩展，适用于具有无限条边的图形。其 施莱夫利符号 是 。

无限边形可以在 双曲平面 上产生正镶嵌。这是通过让正多边形的每条边都具有长度 ，并且多边形的每个内角为 来实现的。然后构造三角形 ，其中 是边的中点， 是相邻的顶点， 是多边形的中心。这是一个 直角三角形，直角位于 。但是边 的长度是 ，角 是 。边 的长度，即外接圆的半径，可以使用曲率为 的常曲率曲面上的直角三角形的标准公式确定：

			(1)
			(2)

的值永远不小于 1，而 的值随着 的增大从零增加到一。仅对于 的小值， 小于 1，这对于 的任何实数值都必须如此。因此，通过使 足够大，该图形具有无限条边，并且是无限边形。如果 ，则该图形内接于等距圆。如果该值大于 1，则该图形内接于超循环或等距曲线。

为了用无限边形镶嵌 双曲平面，选择施莱夫利符号 ，表示在每个顶点处汇聚 个无限边形。内角 然后等于 。要找到最小边长，请解方程

(3)

例如，如果 ，则

(4)

当然，更长的边长也可以用于此镶嵌。

球面上没有无限边形，但欧几里得平面上存在用施莱夫利符号 的无限边形进行的退化正镶嵌。为了构造它，将一条线段分成相等的线段，这些线段是无限边形的边。内角是 ，并且镶嵌平面的两个无限边形的内部是该线段任一侧的两个半平面。