平面

平面是由两个线性无关向量张成的二维双重直纹曲面。平面推广到更高维度被称为超平面。两个相交平面之间的夹角称为二面角。

具有非零法向量 且通过点 的平面方程是

其中 。代入得到平面的一般方程，

其中

以这种形式指定的平面因此在以下位置具有 -, -, 和 - 截距：

并且位于 距离

原点的距离。

以所谓的黑塞法式 (Hessian normal form) 指定平面尤其方便。这可以通过定义单位法向量 的分量，从 (◇) 获得：

以及常数：

那么平面的黑塞法式是

(Gellert et al. 1989, p. 540)，到点 的（有符号）距离是：

并且到原点的距离很简单：

(Gellert et al. 1989, p. 541)。

在截距式中，通过点 , 和 的平面由下式给出：

通过 且平行于 和 的平面是：

通过点 和 且平行于方向 的平面是：

三点式是：

以三点式指定的平面可以用一般方程 (◇) 表示为：

其中

并且 是通过用 1 的列向量替换 获得的行列式。为了用黑塞法式表示，请注意单位法向量也可以立即写成：

并且给出平面到原点距离的常数 是：

从点 到平面的（有符号）点到平面距离

是：

平面之间的二面角

其法向量为 和 ，通过法向量的点积简单地给出：

如果平面以黑塞法式指定，则二面角计算起来特别简单 (Gellert et al. 1989, p. 541)。

为了指定平面中 个点的相对距离，需要 个坐标，因为第一个点始终可以放置在 (0, 0)，第二个点可以放置在 ，它定义了 x 轴。剩余的 个点每个需要两个坐标。然而，距离的总数是

其中 是一个二项式系数，因此点之间的距离受 个关系式的约束，其中

对于 和 ，没有关系式。然而，对于四边形（），有一个关系式 (Weinberg 1972)。

不可能选取在平面上均匀分布的随机变量 (Eisenberg and Sullivan 1996)。在四维空间中，四个平面可能相交于恰好一个点。对于平面中的每组 个点，平面中都存在一个点 ，该点具有以下属性：通过 的每条直线在其每一侧至少有 1/3 的点 (Honsberger 1985)。

平面的每个刚体运动都是以下类型之一 (Singer 1995)：

1. 绕固定点 旋转。

2. 沿直线 方向平移。

3. 关于直线 反射。

4. 沿直线 滑移反射。

双曲平面的每个刚体运动都是上述类型之一或

5. 极限环旋转。