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勒洛三角形

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ReuleauxCircles

一种定宽曲线，通过在多边形顶点的每个等边三角形之间，以另外两个顶点为圆心绘制圆弧构造而成。勒洛三角形在所有定宽曲线中，给定宽度下具有最小的面积。设圆弧半径为 r。由于勒洛三角形的每个弯月形部分的面积是一个圆弓形，其张角为 theta=pi/3,

A_s=1/2r^2(theta-sintheta)
(1)
=(pi/6-(sqrt(3))/4)r^2.
(2)

但是边长 a=r 的中心等边三角形的面积是

A_t=1/4sqrt(3)r^2,
(3)

所以总面积是

A=3A_s+A_t=1/2(pi-sqrt(3))r^2.
(4)
ReuleauxTriangle1
ReuleauxTriangle2
ReuleauxFrames

因为它可以在正方形内旋转，如上图所示，它是哈里·瓦特方形钻头的基石。

ReuleauxEnvelope
ReuleauxEnvelopeCorner

当在边长为 2，角位于 (+/-1,+/-1) 的正方形内旋转时，勒洛三角形的包络线是带有圆角的正方形区域。在角 (-1,-1) 处，边界的包络线由参数方程为以下的椭圆的一部分给出

x=1-cosbeta-sqrt(3)sinbeta
(5)
y=1-sinbeta-sqrt(3)cosbeta
(6)

对于 beta in [pi/6,pi/3], 延伸距离 2-sqrt(3) 从角 (Gleißner 和 Zeitler 2000)。椭圆中心为 (1,1)，长半轴 a=1+sqrt(3)，短半轴 b=sqrt(3)-1，并旋转了 45 degrees 度，其笛卡尔方程为

x^2+y^2-sqrt(3)xy-(2-sqrt(3))x-(2-sqrt(3))y+1-sqrt(3)=0.
(7)

勒洛三角形旋转时覆盖的分数面积是

A_(covered)=2sqrt(3)+1/6pi-3=0.9877003907...
(8)

(OEIS A066666)。请注意，Gleißner 和 Zeitler (2000) 未能简化他们的等效方程，然后断言 (8) 是错误的。

ReuleauxCenterPath
ReuleauxCentroidEllipse

几何中心在三角形旋转时不会保持固定，也不会沿圆移动。实际上，该路径由椭圆的四个弧组成的曲线构成 (Wagon 1991)。对于边长为 2 的外接正方形，左下象限中的椭圆具有以下参数方程

x=1+cosbeta+1/3sqrt(3)sinbeta
(9)
y=1+sinbeta+1/3sqrt(3)cosbeta
(10)

对于 beta in [pi/6,pi/3]。椭圆中心为 (1,1)，长半轴 a=1+1/sqrt(3)，短半轴 b=1-1/sqrt(3)，并旋转了 45 degrees 度，其笛卡尔方程为

3x^2+3y^2-3sqrt(3)xy-3x(2+sqrt(3))-3y(2+sqrt(3))+5-3sqrt(3)=0.
(11)

质心轨迹包围的面积由下式给出

A_(centroid)=4-8/3sqrt(3)+2/9pi
(12)

(Gleißner 和 Zeitler 2000；他们再次未能简化他们的表达式)。请注意，几何中心的路径可以由超椭圆近似表示

|x/a|^r+|y/a|^r=1
(13)

其中 a=2sqrt(3)/3-1 和 r approx 2.36185.

另请参阅

定宽曲线, Delta 曲线, 等边三角形, 生命之花, 分段圆弧曲线, 勒洛多边形, 勒洛四面体, 转子, 滚轮线, 三曲枝

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参考文献

Blaschke, W. "Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts." Math. Ann. 76, 504-513, 1915.Bogomolny, A. "定宽形状。" http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cwidth.shtml.Croft, H. T.; Falconer, K. J.; 和 Guy, R. K. 几何中的未解问题。 New York: Springer-Verlag, p. 8, 1991.Dark, H. E. 汪克尔旋转发动机：介绍与指南。 Bloomington, IN: Indiana University Press, 1974.Eppstein, D. "勒洛三角形。" http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/reuleaux.html.Finch, S. R. 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.Finch, S. "勒洛三角形常数。" http://algo.inria.fr/bsolve/.Gardner, M. "数学游戏：定宽曲线，其中一种可以钻出方形孔。" Sci. Amer. 208, 148-156, Feb. 1963.Gardner, M. "定宽曲线。" Ch. 18 in 意外的绞刑和其他数学趣题。 Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 212-221, 1991.Gleißner, W. 和 Zeitler, H. "勒洛三角形及其质心。" Result. Math. 37, 335-344, 2000.Gray, A. "勒洛多边形。" §7.8 in 使用 Mathematica 的曲线和曲面的现代微分几何，第二版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 176-177, 1997.Kunkel, P. "勒洛三角形。" http://whistleralley.com/reuleaux/reuleaux.htm.Math Forum. "勒洛三角形，勒洛钻头。" http://mathforum.org/~sarah/HTMLthreads/articletocs/reuleaux.triangle.html.Peterson, I. "Ivar Peterson 的数学乐园：与勒洛一起滚动。" Oct. 21, 1996. http://www.maa.org/mathland/mathland_10_21.html.Rademacher, H. 和 Toeplitz, O. 数学的乐趣：业余数学精选。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 1957.Reuleaux, F. 机械运动学：机器理论概要。 London: Macmillan, 1876. Reprinted as 机械运动学。 New York: Dover, 1963.Sloane, N. J. A. Sequence A066666 in "整数数列在线百科全书。"Smith, S. "钻方形孔。" Math. Teacher 86, 579-583, Oct. 1993.Taimina, D. 和 Henderson, D. W. "勒洛三角形。" http://kmoddl.library.cornell.edu/math/2/.Wagon, S. Mathematica 实践。 New York: W. H. Freeman, pp. 52-54 和 381-383, 1991.Yaglom, I. M. 和 Boltyanskii, V. G. 凸图形。 New York: Holt, Rinehart, & Winston, 1961.

请引用为

Eric W. Weisstein "勒洛三角形。" 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ReuleauxTriangle.html

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