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勒洛三角形

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ReuleauxCircles

一种定宽曲线，通过在多边形顶点的每个等边三角形之间，以另外两个顶点为圆心绘制圆弧构造而成。勒洛三角形在所有定宽曲线中，给定宽度下具有最小的面积。设圆弧半径为 r。由于勒洛三角形的每个弯月形部分的面积是一个圆弓形，其张角为 theta=pi/3,

A_s=1/2r^2(theta-sintheta)
(1)
=(pi/6-(sqrt(3))/4)r^2.
(2)

但是边长 a=r 的中心等边三角形的面积是

A_t=1/4sqrt(3)r^2,
(3)

所以总面积是

A=3A_s+A_t=1/2(pi-sqrt(3))r^2.
(4)
ReuleauxTriangle1
ReuleauxTriangle2
ReuleauxFrames

因为它可以在正方形内旋转，如上图所示，它是哈里·瓦特方形钻头的基石。

ReuleauxEnvelope
ReuleauxEnvelopeCorner

当在边长为 2，角位于 (+/-1,+/-1) 的正方形内旋转时，勒洛三角形的包络线是带有圆角的正方形区域。在角 (-1,-1) 处，边界的包络线由参数方程为以下的椭圆的一部分给出

x=1-cosbeta-sqrt(3)sinbeta
(5)
y=1-sinbeta-sqrt(3)cosbeta
(6)

对于 beta in [pi/6,pi/3], 延伸距离 2-sqrt(3) 从角 (Gleißner 和 Zeitler 2000)。椭圆中心为 (1,1)，长半轴 a=1+sqrt(3)，短半轴 b=sqrt(3)-1，并旋转了 45 degrees 度，其笛卡尔方程为

x^2+y^2-sqrt(3)xy-(2-sqrt(3))x-(2-sqrt(3))y+1-sqrt(3)=0.
(7)

勒洛三角形旋转时覆盖的分数面积是

A_(covered)=2sqrt(3)+1/6pi-3=0.9877003907...
(8)

(OEIS A066666)。请注意，Gleißner 和 Zeitler (2000) 未能简化他们的等效方程，然后断言 (8) 是错误的。

ReuleauxCenterPath
ReuleauxCentroidEllipse

几何中心在三角形旋转时不会保持固定，也不会沿圆移动。实际上，该路径由椭圆的四个弧组成的曲线构成 (Wagon 1991)。对于边长为 2 的外接正方形，左下象限中的椭圆具有以下参数方程

x=1+cosbeta+1/3sqrt(3)sinbeta
(9)
y=1+sinbeta+1/3sqrt(3)cosbeta
(10)

对于 beta in [pi/6,pi/3]。椭圆中心为 (1,1)，长半轴 a=1+1/sqrt(3)，短半轴 b=1-1/sqrt(3)，并旋转了 45 degrees 度，其笛卡尔方程为

3x^2+3y^2-3sqrt(3)xy-3x(2+sqrt(3))-3y(2+sqrt(3))+5-3sqrt(3)=0.
(11)

质心轨迹包围的面积由下式给出

A_(centroid)=4-8/3sqrt(3)+2/9pi
(12)

(Gleißner 和 Zeitler 2000；他们再次未能简化他们的表达式)。请注意，几何中心的路径可以由超椭圆近似表示

|x/a|^r+|y/a|^r=1
(13)

其中 a=2sqrt(3)/3-1 和 r approx 2.36185.

另请参阅

定宽曲线, Delta 曲线, 等边三角形, 生命之花, 分段圆弧曲线, 勒洛多边形, 勒洛四面体, 转子, 滚轮线, 三曲枝

使用 探索

参考文献

Blaschke, W. "Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts." Math. Ann. 76, 504-513, 1915.Bogomolny, A. "定宽形状。" http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/cwidth.shtml.Croft, H. T.; Falconer, K. J.; 和 Guy, R. K. 几何中的未解问题。 New York: Springer-Verlag, p. 8, 1991.Dark, H. E. 汪克尔旋转发动机：介绍与指南。 Bloomington, IN: Indiana University Press, 1974.Eppstein, D. "勒洛三角形。" http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/reuleaux.html.Finch, S. R. 数学常数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 2003.Finch, S. "勒洛三角形常数。" http://algo.inria.fr/bsolve/.Gardner, M. "数学游戏：定宽曲线，其中一种可以钻出方形孔。" Sci. Amer. 208, 148-156, Feb. 1963.Gardner, M. "定宽曲线。" Ch. 18 in 意外的绞刑和其他数学趣题。 Chicago, IL: University of Chicago Press, pp. 212-221, 1991.Gleißner, W. 和 Zeitler, H. "勒洛三角形及其质心。" Result. Math. 37, 335-344, 2000.Gray, A. "勒洛多边形。" §7.8 in 使用 Mathematica 的曲线和曲面的现代微分几何，第二版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 176-177, 1997.Kunkel, P. "勒洛三角形。" http://whistleralley.com/reuleaux/reuleaux.htm.Math Forum. "勒洛三角形，勒洛钻头。" http://mathforum.org/~sarah/HTMLthreads/articletocs/reuleaux.triangle.html.Peterson, I. "Ivar Peterson 的数学乐园：与勒洛一起滚动。" Oct. 21, 1996. http://www.maa.org/mathland/mathland_10_21.html.Rademacher, H. 和 Toeplitz, O. 数学的乐趣：业余数学精选。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 1957.Reuleaux, F. 机械运动学：机器理论概要。 London: Macmillan, 1876. Reprinted as 机械运动学。 New York: Dover, 1963.Sloane, N. J. A. Sequence A066666 in "整数数列在线百科全书。"Smith, S. "钻方形孔。" Math. Teacher 86, 579-583, Oct. 1993.Taimina, D. 和 Henderson, D. W. "勒洛三角形。" http://kmoddl.library.cornell.edu/math/2/.Wagon, S. Mathematica 实践。 New York: W. H. Freeman, pp. 52-54 和 381-383, 1991.Yaglom, I. M. 和 Boltyanskii, V. G. 凸图形。 New York: Holt, Rinehart, & Winston, 1961.

请引用为

Eric W. Weisstein "勒洛三角形。" 来自 —— 资源。 https://mathworld.net.cn/ReuleauxTriangle.html

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