球面

球面被定义为三维欧几里得空间 中所有点的集合，这些点与给定点（“球心”）的距离为 （“半径”）。 半径 的两倍称为 直径，球面上 直径 两侧的点对称为 对径点。

不幸的是，几何学家和拓扑学家对于“-球面”的含义采用了不兼容的约定，几何学家指的是底层空间中坐标的数量（“因此二维球面是一个圆”，Coxeter 1973, p. 125），而拓扑学家指的是表面本身的维度（“-维球面 被定义为 在 中满足 的所有点的集合”，Hocking 和 Young 1988, p. 17；“-球面 是 ”，Maunder 1997, p. 21）。 因此，几何学家将通常球面的表面称为 3-球面，而拓扑学家将其称为 2-球面，并将其表示为 。

无论选择哪种约定来索引球面的维度数，术语“球面”仅指表面，因此通常的球面是二维表面。 因此，不鼓励使用术语“球面”来指代球面的内部的通俗做法，球面的内部（即“实心球”）更恰当地称为“球”。

球面在 Wolfram 语言 中实现为球面[x, y, z, r]。

半径为 的球面的 表面积 和 球的体积 由下式给出

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（Beyer 1987, p. 130）。 在《论球与圆柱》（约公元前 225 年）中，阿基米德成为第一个推导出这些方程的人（尽管他用球的圆形 横截面 表示 ）。 以下事实

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阿基米德也知道（Steinhaus 1999, p. 223；Wells 1991, pp. 236-237）。

通过球面的任何 横截面 都是一个 圆（或者，在切片 平面 与球面相切的退化情况下，是一个点）。 当定义 横截面 的 平面 通过 直径 时，圆 的大小最大化。

以原点为中心的半径为 的球面的方程在 笛卡尔坐标系 中由下式给出

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这是 椭球体 的特例

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和 球状体

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以点 为中心，半径为 的球面的笛卡尔方程由下式给出

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以原点为中心的球面也可以在 球坐标系 中指定为

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其中 是从 0 到 的方位角坐标（经度）， 是从 0 到 的极坐标（余纬度）， 是 半径。 请注意，有时会使用其他几种符号，其中 和 的符号互换，或者使用 而不是 。 如果允许 从 0 到给定 半径 变化，则获得实心 球。

以原点为中心的球面也可以参数化表示，令 ，因此

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其中 从 0 到 变化， 从 到 变化。

球面在 维中的推广称为 超球面。 -维 超球面，也称为 -球面（在几何学家的约定中），以原点为中心，因此可以通过方程指定

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当然，拓扑学家会认为这个方程描述的是一个 -球面。

球体的体积，，可以使用 笛卡尔坐标、圆柱坐标 和 球坐标 分别使用积分找到

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半径为 和质量为 的球体内部的惯性张量为

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转换为“标准”参数变量 ， 和 给出第一基本形式的系数

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第二基本形式系数

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面积元素

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高斯曲率

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和 平均曲率

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给定球面上两点，连接它们的球表面上的最短路径（测地线）是 圆 的 弧，称为 大圆。 以 和 为 直径 上的点的球面方程由下式给出

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四个点足以唯一确定一个球面。 给定点 ，其中 、2、3 和 4，包含它们的球面由美丽的 行列式 方程给出

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（Beyer 1987, p. 210）。