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福特圆

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FordCircles

选择任意两个互质 整数 h 和 k，则圆 C(h,k) 的半径 1/(2k^2) 中心位于 (h/k,+/-1/(2k^2)) 被称为福特圆。无论选择多少 h 和 k，福特圆都不会相交（并且都与 x-轴相切）。这可以通过检查中心分别为 (h,k) 和 (h^',k^') 的圆之间距离的平方来理解，

d^2=((h^')/(k^')-h/k)^2+(1/(2k^('2))-1/(2k^2))^2.
(1)

设 s 为半径之和

s=r_1+r_2=1/(2k^2)+1/(2k^('2)),
(2)

则

d^2-s^2=((h^'k-hk^')^2-1)/(k^2k^('2)).
(3)

但 (h^'k-k^'h)^2>=1，所以 d^2-s^2>=0 且圆心之间的距离 >= 圆 半径之和，当且仅当 |h^'k-k^'h|=1 时等号成立（因此相切）。福特圆与法雷数列有关 (Conway and Guy 1996)。

FordCirclesIntersection

如果 h_1/k_1、h_2/k_2 和 h_3/k_3 是法雷数列中三个连续的项，则圆 C(h_1,k_1) 和 C(h_2,k_2) 在以下位置相切

alpha_1=((h_2)/(k_2)-(k_1)/(k_2(k_2^2+k_1^2)),1/(k_2^2+k_1^2))
(4)

并且圆 C(h_2,k_2) 和 C(h_3,k_3) 交于

alpha_2=((h_2)/(k_2)+(k_3)/(k_2(k_2^2+k_3^2)),1/(k_2^2+k_3^2)).
(5)

此外，alpha_1 位于以 (h_1/k_1,0)-(h_2/k_2,0) 为直径的半圆的圆周上，alpha_2 位于以 (h_2/k_2,0)-(h_3/k_3,0) 为直径的半圆的圆周上 (Apostol 1997, p. 101)。

另请参阅

相邻分数, 阿波罗垫片, 法雷数列, Stern-Brocot 树

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参考文献

Apostol, T. M. "福特圆。" §5.5 in 数论中的模函数与狄利克雷级数，第二版 New York: Springer-Verlag, pp. 99-102, 1997.Conway, J. H. and Guy, R. K. "法雷分数和福特圆。" 数之书。 New York: Springer-Verlag, pp. 152-154, 1996.Ford, L. R. "分数。" Amer. Math. Monthly 45, 586-601, 1938.Pickover, C. A. "分形奶昔与无限射箭。" Ch. 14 in 通往无限的钥匙。 New York: W. H. Freeman, pp. 117-125, 1995.Rademacher, H. 从初等观点看高等数学。 Boston, MA: Birkhäuser, 1983.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

福特圆

请按如下方式引用

Weisstein, Eric W. “福特圆。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/FordCircle.html

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