圆锥

一个（有限的，圆形的）锥面是由将线段的一端固定在一个点（称为圆锥的顶点或尖端），并将另一端围绕一个固定圆的圆周（称为底面）扫动而创建的直纹曲面。当顶点位于底面中心上方时（即，由顶点、底面中心和任何底面半径形成的角度是直角），该圆锥被称为直圆锥；否则，该圆锥被称为“斜圆锥”。当底面被视为椭圆而不是圆形时，该圆锥被称为椭圆锥。

在圆锥曲线的讨论中，“圆锥”一词通常被理解为“双圆锥”，即两个（可能无限延伸的）圆锥尖端对尖端放置。无限双圆锥是二次曲面，每个单圆锥被称为“锥叶”。然后，双曲线可以被定义为平面与双圆锥的两个锥叶的交线。

从上面可以看出，在解释未限定的术语“圆锥”时需要谨慎，因为根据上下文，它可能指的是直圆锥或斜圆锥配置、圆形或椭圆形底面、单锥叶或双锥叶版本、有限或无限曲面（不包括圆形/椭圆形底面）、包括底面的有限曲面或由侧面和底面界定的有限实体。当在没有限定的情况下使用时，尤其是在初级语境中，术语“圆锥”通常意味着填充的（实体的）直圆锥。

填充的（通常是斜的）具有圆形底面半径 、底面中心 和顶点 的圆锥在 Wolfram 语言中表示为圆锥[x1, y1, z1, x2, y2, z2, r].

一个高度为 和底面半径为 的直圆锥，沿 轴定向，顶点向上，底面位于 处，可以用参数方程描述为

			(1)
			(2)
			(3)

对于 和 。

直圆锥的张角是通过顶点和底面中心的横截面形成的顶点角。对于高度为 和半径为 的圆锥，它由下式给出

(4)

对 (1) 和 (2) 平方求和表明，圆锥的隐式笛卡尔方程由下式给出

(5)

其中

(6)

是半径与顶点到某距离处高度的比率，有时称为张角， 是顶点在 平面之上的高度。

圆锥的体积是

(7)

其中 是底面面积， 是高度。如果底面是圆形的，那么

			(8)
			(9)
			(10)

这个惊人的事实最初是由欧多克索斯发现的，后来阿基米德在他的《论球与圆柱》（约公元前 225 年）和欧几里得在他的《几何原本》的命题 XII.10 中（Dunham 1990）也发现了其他证明。

几何质心可以通过在圆台的质心方程中设置 获得，

(11)

（Eshbach 1975，第 453 页；Beyer 1987，第 133 页）得出

(12)

底面半径为 、高度为 和质量为 的圆锥内部，关于其顶点的转动惯量张量为

(13)

对于直圆锥，斜高 是

(14)

表面面积（不包括底面）是

			(15)
			(16)

包含固定在三维空间中的椭圆的可变圆锥的顶点的轨迹是穿过椭圆焦点的双曲线。此外，包含该双曲线的圆锥的顶点的轨迹是原始椭圆。椭圆和双曲线的离心率互为倒数。

网格可以通过三种方式映射到圆锥上，使其形成圆锥网（Steinhaus 1999，第 225-227 页）。

通用（无限、双锥叶）圆锥的方程由下式给出

			(17)
			(18)
			(19)

它给出了第一基本形式的系数

			(20)
			(21)
			(22)

第二基本形式系数

			(23)
			(24)
			(25)

和面积元素

(26)

高斯曲率是

(27)

平均曲率是

(28)

请注意，将 而不是 写入会得到一个螺旋面而不是圆锥。