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超越数

超越数是一个（可能是复数）不是任何整系数多项式的根的数，这意味着它不是任何次数的代数数。每个实超越数也必然是无理数，因为根据定义，有理数是一次代数数。

可以使用Wolfram 语言命令测试复数 z 以查看它是否是超越数非[元素[x,代数数]].

超越数在数学史上非常重要，因为对它们的 исследвания 首次证明了化圆为方，这个困扰数学家 2000 多年的古代几何问题实际上是不可解的。具体而言，为了使一个数能够通过使用古希腊规则的几何作图产生，它必须是有理数或一种非常特殊的代数数，称为欧几里得数。由于数 pi 是超越数，因此无法按照希腊规则进行作图。

刘维尔展示了如何使用刘维尔逼近定理构造特殊情况（例如 刘维尔常数）。特别是，他表明，任何具有快速收敛的有理逼近序列的数都必须是超越数。多年来，人们只知道如何确定特殊类别的数是否是超越数。确定更一般数的性质被认为是一个足够重要的未解决问题，以至于它是希尔伯特问题之一。

格尔丰德定理随后取得了巨大进展，该定理给出了一个通用规则，用于确定形式为 alpha^beta 的数的特殊情况是否是超越数。贝克通过证明形式为 alphalnbeta 的数之和的超越性，为 代数数 alpha 和 beta 带来了进一步的突破。

e 在 1873 年被埃尔米特证明是超越数，而 pi (pi) 在 1882 年被林德曼证明是超越数。格尔丰德常数 e^pi 根据格尔丰德定理是超越数，因为

(-1)^(-i)=(e^(ipi))^(-i)=e^pi.

格尔丰德-施耐德常数 2^(sqrt(2)) 也是超越数（Hardy 和 Wright 1979, p. 162）。

已知的超越数总结在下表中，其中 sinx 是正弦函数，J_0(x) 是第一类贝塞尔函数，x_k^((n)) 是 n 阶 J_k(x) 的第 n 个零点，P_1 是图-莫尔斯常数，P_2 是通用抛物线常数，Omega_U 是 蔡廷常数，Gamma(x) 是伽玛函数，而 zeta(n) 是黎曼 zeta 函数。

超越数参考文献
蔡廷常数 Omega_U
Champernowne 常数
eHermite (1873)
e^(pisqrt(d)), d in Z^+Nesterenko (1999)
格尔丰德常数 e^piGelfond
格尔丰德-施耐德常数 2^(sqrt(2))Hardy 和 Wright (1979, p. 162)
指数阶乘倒数和 SJ. Sondow, 私人通信，1 月 10 日，2003
Gamma(1/3)Le Lionnais (1983, p. 46)
Gamma(1/4)Chudnovsky (1984, p. 308), Waldschmidt, Nesterenko (1999)
Gamma(1/6)Chudnovsky (1984, p. 308)
Gamma(1/4)pi^(-1/4)Davis (1959)
J_0(1)Hardy 和 Wright (1979, p. 162)
J_0(x) 最小根，2.4048255...Le Lionnais (1983, p. 46)
Komornik-Loreti 常数Allouche 和 Cosnard (2000)
刘维尔常数 LLiouville (1850)
ln2Hardy 和 Wright (1979, p. 162)
ln3/ln2Hardy 和 Wright (1979, p. 162),
piLindemann (1882)
pi+ln2+sqrt(2)ln3Borwein et al. (1989)
Plouffe 常数 tan^(-1)(1/2)/piSmith 2003, Margolius
sin1Hardy 和 Wright (1979, p. 162)
(tan^(-1)x)/pi 对于 x 有理数且 x!=0,+/-1Margolius
图-莫尔斯常数 0.4124540336...Dekking (1977), Allouche 和 Shallit
图常数
通用抛物线常数 sqrt(2)+ln(1+sqrt(2))

阿培里常数 zeta(3) 已被证明是无理数，但尚不清楚它是否是超越数。pie 和 pi+e 中至少有一个（可能两者都是）是超越数，但尚未证明任何一个数本身是超越数。尚不清楚 e^e, pi^pi, pi^e, gamma （欧拉-马歇罗尼常数），I_0(2), 或 I_1(2) （其中 I_n(x) 是第一类修正贝塞尔函数）是否是超越数。

在超越数论中仍然存在许多基本且突出的问题，包括常数问题和沙努埃尔猜想。

虽然任何代数数都是一个代数周期，并且不是代数周期的数是超越数（Waldschmidt 2006），但在这两个陈述之间存在“差距”，因为代数周期可能是代数数或超越数。

参见

代数数, 代数周期, 代数独立, 代数数, 常数问题, 四个指数猜想, 指数阶乘, 格尔丰德定理, 无理数, 无理数性测度, 林德曼-魏尔斯特拉斯定理, 罗斯定理, 沙努埃尔猜想, 六个指数定理 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Allouche, J. P. 和 Shallit, J. 准备中。Allouche, J.-P. 和 Cosnard, M. "Komornik-Loreti 常数是超越数。" Amer. Math. Monthly 107, 448-449, 2000.Bailey, D. H. 和 Crandall, R. E. "随机生成器和正规数。" Exper. Math. 11, 527-546, 2002.Baker, A. "有理数对数的逼近。" Acta Arith. 10, 315-323, 1964.Baker, A. "代数数对数的线性形式 I." Mathematika 13, 204-216, 1966.Baker, A. "代数数对数的线性形式 II." Mathematika 14, 102-107, 1966.Baker, A. "代数数对数的线性形式 III." Mathematika 14, 220-228, 1966.Baker, A. "代数数对数的线性形式 IV." Mathematika 15, 204-216, 1966.Borwein, J. M.; Borwein, P. B.; 和 Bailey, D. H. "拉马努金、模方程和 pi 的逼近，或如何计算 pi 的十亿位数字。" Amer. Math. Monthly 96, 201-219, 1989.Chudnovsky, G. V. 超越数理论的贡献。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1984.Courant, R. 和 Robbins, H. "代数数和超越数。" §2.6 in 什么是数学？：思想和方法的初等方法，第二版。 Oxford, England: Oxford University Press, pp. 103-107, 1996.Davis, P. J. "莱昂哈德·欧拉的积分：伽玛函数的历史概况。" Amer. Math. Monthly 66, 849-869, 1959.Dekking, F. M. "图-莫尔斯数的超越性。" C. R. Acad. Sci. Paris 285, 157-160, 1977.Gourdon, X. 和 Sebah, P. "超越数。" §3 in "数的分类：概述。" http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/classification.html.Gray, R. "格奥尔格·康托尔和超越数。" Amer. Math. Monthly 101, 819-832, 1994.Hardy, G. H. 和 Wright, E. M. "代数数和超越数"、"超越数的存在" 和 "刘维尔定理和超越数的构造。" §11.5-11.6 in 数论导论，第五版。 Oxford, England: Oxford University Press, pp. 159-164, 1979.Hermite, C. "关于指数函数。" C. R. Acad. Sci. Paris 77, 18-24, 74-79, 和 226-233, 1873.Le Lionnais, F. 卓越的数。 Paris: Hermann, p. 46, 1979.Lindemann, F. "关于数 pi。" Math. Ann. 20, 213-225, 1882.Liouville, J. "关于值既不是代数的，甚至不能简化为代数无理数的非常广泛的量类。" J. Math. pures appl. 15, 133-142, 1850.Margolius, B. H. "Plouffe 常数是超越数。" http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/articles/plouffe.pdf.Nagell, T. 数论导论。 New York: Wiley, p. 35, 1951.Nesterenko, Yu. V. "关于线性微分方程组解的分量的代数独立性。" Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495-512, 1974. 英文翻译见 Math. USSR 8, 501-518, 1974.Nesterenko, Yu. V. "模函数和超越问题。" [俄语。] Mat. Sbornik 187, 65-96, 1996. 英文翻译见 Sbornik Math. 187, 1319-1348, 1996.Nesterenko, Yu. V. 代数独立性课程：1999 年 IHP 讲座。 未出版的手稿。 1999.Pickover, C. A. "最著名的十五个超越数。" J. Recr. Math. 25, 12, 1993.Ramachandra, K. 超越数讲义。 Madras, India: Ramanujan Institute, 1969.Shidlovskii, A. B. 超越数。 New York: de Gruyter, 1989.Siegel, C. L. 超越数。 New York: Chelsea, 1965.Smith, W. D. "勾股三元组、有理角和空间填充单纯形。" 2003. http://math.temple.edu/~wds/homepage/diophant.pdf.Tijdeman, R. "超越数理论中的一个辅助结果。" J. Numb. Th. 5, 80-94, 1973.Waldschmidt, M. "周期的超越性：现状。" Pure Appl. Math. Quart. 2, 435-463, 2006.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

超越数

请引用为

Weisstein, Eric W. "超越数。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/TranscendentalNumber.html

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