主题
Search

正多边形

DOWNLOAD Mathematica Notebook下载 Wolfram 笔记本
RegularPolygons

正多边形是一个具有 n 条边的 多边形，其中所有边都具有相同的长度，并且对称地放置在一个共同的中心周围（即，该多边形既是 等角 的又是 等边 的）。 只有某些正多边形可以使用经典的希腊工具—— 圆规 和 直尺 “构造”出来。

术语 等边三角形 和 正方形 分别指代正3边形和正4边形。 边数 n>=5 的多边形的词语（例如，五边形、六边形、七边形 等）可以指代正多边形或非正多边形，尽管在没有特定措辞的情况下，这些术语通常指代正多边形。

正 n 边形在 Wolfram 语言 中实现为RegularPolygon[n]，或者更一般地为RegularPolygon[r, n],RegularPolygon[{x, y}, rspec, n]，等等。

从任意点到 n 边正多边形各边的 垂线 之和是 n 乘以 边心距。

PolygonInCircumscribe

设 a 为边长，r 为 内切圆半径，R 为正多边形的 外接圆半径。 那么

a=2rtan(pi/n)
(1)
=2Rsin(pi/n)
(2)
r=1/2acot(pi/n)
(3)
=Rcos(pi/n)
(4)
R=1/2acsc(pi/n)
(5)
=rsec(pi/n)
(6)
A=1/4na^2cot(pi/n)
(7)
=nr^2tan(pi/n)
(8)
=1/2nR^2sin((2pi)/n).
(9)

关于正 n 边形的 内切圆半径 和 外接圆半径 轴的 面积惯性矩 由下式给出

I_r=1/(24)A_n(6r_n^2-a^2)
(10)
=(a^4)/(192)n[cos((2pi)/n)+2]cos(pi/n)csc^2(pi/n)
(11)
I_R=1/(48)A_n(12R_n^2+a^2)
(12)
=(a^4)/(192)ncot(pi/n)[3cos^2(pi/n)+1]
(13)

(Roark 1954, p. 70)。

如果边数加倍，那么

a_(2n)=sqrt(2R^2-Rsqrt(4R^2-a_n^2))
(14)
A_(2n)=(4rA_n)/(2r+sqrt(4r^2+a_n^2)).
(15)

前几个单位边长的正 n 边形的面积为

A_3=1/4sqrt(3)
(16)
A_4=1
(17)
A_5=1/4sqrt(5(5+2sqrt(5)))
(18)
A_6=3/2sqrt(3)
(19)
A_7=(4096x^6-62720x^4+115248x^2-16807)_6
(20)
A_8=2(1+sqrt(2))
(21)
A_9=(4096x^6-186624x^4+1154736x^2-177147)_6
(22)
A_(10)=5/2sqrt(5+2sqrt(5)).
(23)

这些对于 n=3, 4, ... 的代数次数分别为 2, 1, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, 2, 12, 6, 8, 4, 16, 6, 18, 4, ... (OEIS A089929)。

RegularPolygonAreas

上图显示了单位内切圆半径（蓝色）和单位外接圆半径（红色）的正 n 边形的面积如何接近 单位圆盘 的面积（即，pi）。

如果 p_k 和 P_k 是内接于和外切于给定 圆 的正多边形的 周长，而 a_k 和 A_k 是它们的面积，那么

P_(2n)=(2p_nP_n)/(p_n+P_n)
(24)
p_(2n)=sqrt(p_nP_(2n)),
(25)

并且

a_(2n)=sqrt(a_nA_n)
(26)
A_(2n)=(2a_(2n)A_n)/(a_(2n)+A_n)
(27)

(Beyer 1987, p. 125)。

任意 n 边形的内角和由 (n-2)pi 弧度或 2(n-2)×90 degrees 给出 (Zwillinger 1995, p. 270)。

下表给出了前几个单位边长 s=1 的正多边形的参数，其中 alpha 是内角（顶点角），beta 是 外角，r 是 内切圆半径，R 是 外接圆半径，A 是面积 (Williams 1979, p. 33)。

多边形{n}alphabetarRA
等边三角形{3}1/3pi=60 degrees2/3pi=120 degrees1/6sqrt(3)1/3sqrt(3)1/4sqrt(3)
正方形{4}1/2pi=90 degrees1/2pi=90 degrees1/21/2sqrt(2)1
五边形{5}3/5pi=108 degrees2/5pi=72 degrees1/(10)sqrt(25+10sqrt(5))1/(10)sqrt(50+10sqrt(5))1/4sqrt(25+10sqrt(5))
六边形{6}2/3pi=120 degrees1/3pi=60 degrees1/2sqrt(3)13/2sqrt(3)
七边形{7}5/7pi=(900)/7 degrees2/7pi=(360)/7 degrees1/2cot(1/7pi)1/2csc(1/7pi)7/4cot(1/7pi)
八边形{8}3/4pi=135 degrees1/4pi=45 degrees1/2(1+sqrt(2))1/2sqrt(4+2sqrt(2))2(1+sqrt(2))
九边形{9}7/9pi=140 degrees2/9pi=40 degrees1/2cot(1/9pi)1/2csc(1/9pi)9/4cot(1/9pi)
十边形{10}4/5pi=144 degrees1/5pi=36 degrees1/2sqrt(5+2sqrt(5))1/2(1+sqrt(5))5/2sqrt(5+2sqrt(5))
十一边形{11}9/(11)pi=(1620)/(11) degrees2/(11)pi=(360)/(11) degrees1/2cot(1/(11)pi)1/2csc(1/(11)pi)(11)/4cot(1/(11)pi)
十二边形{12}5/6pi=150 degrees1/6=30 degrees1/2(2+sqrt(3))1/2(sqrt(2)+sqrt(6))3(2+sqrt(3))
十三边形{13}(11)/(13)pi=(1980)/(13) degrees2/(13)pi=(360)/(13) degrees1/2cot(1/(13)pi)1/2csc(1/(13)pi)(13)/4cot(1/(13)pi)
十四边形{14}6/7pi=(1080)/7 degrees1/7pi=(180)/7 degrees1/2cot(1/(14)pi)1/2csc(1/(14)pi)7/2cot(1/(14)pi)

只有部分正多边形可以通过使用 圆规 和 直尺 的 几何构造 来构建。 可以构造正多边形的边数是那些中心角对应于所谓的 三角学角 的边数。

RegularPolygonFunctions

可以构造相对简单的二维函数 P_n(x,y)，这些函数具有正 n 边形的对称性（即，其 等高线 是正 n 边形）。 上面示出的示例包括

P_3(x,y)=max(y-xsqrt(3),y+xsqrt(3),-2y)
(28)
P_4(x,y)=|x|+|y|
(29)
P_6(x,y)=2|x|+|x-ysqrt(3)|+|x+ysqrt(3)|
(30)
P_8(x,y)=2(|x|+|y|)+sqrt(2)(|x-y|+|x+y|).
(31)

另请参阅

257边形, 65537边形, 无限边形, 比尔图片, 混沌游戏, 可构造多边形, 棣莫弗数, 等边三角形, 十七边形, 六边形, 六芒星, 八边形, 五边形, 五角星, 多边形, 外切多边形, 内接多边形, 正多边形对角线分割, 正方形, 星形多边形, 三角学角 在 MathWorld 课堂中探索此主题

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Beyer, W. H. CRC 标准数学表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1987。Bishop, W. "How to Construct a Regular Polygon." Amer. Math. Monthly 85, 186-188, 1978。Conway, J. H. and Guy, R. K. 数字之书。 New York: Springer-Verlag, pp. 140 and 197-202, 1996。Courant, R. and Robbins, H. "Regular Polygons." §3.2 in 什么是数学？：思想和方法的初等方法，第 2 版。 Oxford, England: Oxford University Press, pp. 122-125, 1996。Coxeter, H. S. M. 几何学导论，第 2 版。 New York: Wiley, 1969。DeTemple, D. W. "Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygonal Constructions." Amer. Math. Monthly 98, 97-108, 1991。Dickson, L. E. "Constructions with Ruler and Compasses; Regular Polygons." Ch. 8 in 关于与初等领域相关的现代数学主题的专著 (Ed. J. W. A. Young). New York: Dover, pp. 352-386, 1955。Gardner, M. 数学嘉年华：来自《科学美国人》的新的诱惑和谜题综述。 New York: Vintage Books, p. 207, 1977。Gauss, C. F. §365 and 366 in 算术研究。 Leipzig, Germany, 1801. Translated by A. A. Clarke. New Haven, CT: Yale University Press, 1965。Harris, J. W. and Stocker, H. "Regular n-gons (Polygons)." §3.7 in 数学和计算科学手册。 New York: Springer-Verlag, pp. 86-89, 1998。Math Forum. "Naming Polygons and Polyhedra." http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.polygon.names.html.Rawles, B. 神圣几何设计源书：通用维度模式。 Nevada City, CA: Elysian Pub., p. 238, 1997。Richmond, H. W. "A Construction for a Regular Polygon of Seventeen Sides." Quart. J. Pure Appl. Math. 26, 206-207, 1893。Roark, R. J. 应力和应变公式，第 3 版。 New York: McGraw-Hill, 1954。Sloane, N. J. A. Sequences A003401/M0505, A004729, and A089929 in "整数序列在线百科全书。"Smith, D. E. 数学资源书。 New York: Dover, p. 350, 1994。Tietze, H. Ch. 9 in 数学中的著名问题。 New York: Graylock Press, 1965。Wantzel, M. L. "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas." J. Math. pures appliq. 1, 366-372, 1836。Williams, R. "Polygons." §2-1 in 自然结构的几何基础：设计资源书。 New York: Dover, pp. 31-33, 1979。Zwillinger, D. (Ed.). CRC 标准数学表格和公式。 Boca Raton, FL: CRC Press, 1995。

在 Wolfram|Alpha 中引用

正多边形

引用为

Weisstein, Eric W. “正多边形。” 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/RegularPolygon.html

主题分类