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三角形

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三角形是一个三边的多边形，有时（但不常见）称为三边形。每个三角形都有三条边和三个角，其中一些角可能相同。在直角三角形的情况下，三角形的边被赋予特殊的名称，与直角相对的边称为斜边，另外两条边称为直角边。所有三角形都是凸的并且是双中心的。三角形包围的平面部分称为三角形内部，而其余部分是外部。

对三角形的研究有时被称为三角形几何学，它是几何学中一个内容丰富的领域，充满了美妙的成果和意想不到的联系。1816 年，在研究三角形的布罗卡点时，克雷勒惊呼：“如此简单的图形，三角形的性质竟然如此丰富，真是太神奇了。其他图形可能还有多少未知的性质呢？”（Wells 1991，第 21 页）。

Triangle

通常以逆时针顺序将三角形的顶点标记为A，B，C（或 A_1，A_2，A_3）。然后，顶点角使用与顶点本身相同的符号表示。符号 alpha，beta，gamma（或 alpha_1，alpha_2，alpha_3）有时也被使用（例如，Johnson 1929），但这种约定会导致与三线性坐标 alpha:beta:gamma 的常用表示法产生不必要的混淆，因此不建议使用。与角 A，B 和 C（或 A_1，A_2，A_3）相对的边分别标记为 a，b，c（或 a_1，a_2，a_3），这些符号也表示边的长度（正如顶点处的符号表示顶点本身以及顶点角，取决于上下文）。

Triangles

如果三角形的三个角都是锐角，则该三角形称为锐角三角形；如果三角形有一个钝角，则该三角形称为钝角三角形；如果三角形有一个直角，则该三角形称为直角三角形。所有边都相等的三角形称为等边三角形，两条边相等的三角形称为等腰三角形，所有边长度都不同的三角形称为不等边三角形。一个三角形可以同时是直角三角形和等腰三角形，在这种情况下，它被称为等腰直角三角形。

三角形的半周长 s 定义为其周长的一半，

s=1/2p
(1)
=1/2(a+b+c).
(2)

三角形的面积可以使用海伦公式计算

Delta=sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)).
(3)

还有许多其他公式可以计算三角形面积。

半周长的定义导致了以下定义

s_a=1/2(b+c-a)
(4)
=s-a
(5)
=rcot(1/2A)
(6)
s_b=1/2(c+a-b)
(7)
=s-b
(8)
=rcot(1/2B)
(9)
s_c=1/2(a+b-c)
(10)
=s-c
(11)
=rcot(1/2C),
(12)

其中 r 是内切圆半径。 康威三角形表示法 S，S_A，S_B 和 S_C 也存在类似的关系。

TriangleAngles

三角形的角度之和为 180 degrees=pi 弧度（至少在欧几里得几何中；这个陈述在非欧几里得几何中不成立）。可以通过以下方式建立。令 DAE∥BC （DAE 与 BC 平行），在上面的图中，角 alpha 和 beta 满足 alpha=∠DAB=∠ABC 和 beta=∠EAC=∠ACB，如所示。添加 gamma，得出

alpha+beta+gamma=180 degrees,
(13)

因为线段的角度之和必须等于两个直角。因此，三角形的角度之和也为 180 degrees。

TriangleParallelLine

如果在三角形的一边上绘制一条平行线，使其与另外两条边相交，则它会按比例分割它们，即

(AX)/(XC)=(BY)/(YC)
(14)

（Jurgensen 1963，第 251 页）。换句话说，与三角形的一边平行的直线切割另外两条边会创建一个与第一个三角形相似的三角形。

三角形的允许边长 a、b 和 c 由以下不等式组给出：a>0、b>0、c>0、a+b>c、b+c>a、a+c>b，这是所谓的三角形不等式的概括。三角形的角和边也满足一系列其他的精妙的三角形不等式。

指定两个角 A 和 B 以及一条边 a 可以唯一确定一个三角形，其面积为

Delta=(a^2sinBsinC)/(2sinA)
(15)
=(a^2sinBsin(pi-A-B))/(2sinA)
(16)

（AAS定理）。指定一个角 A，一条边 c，和一个角 B 可以唯一确定一个三角形，其面积为

Delta=(c^2)/(2(cotA+cotB))
(17)

（ASA定理）。给定一个三角形，两条边分别为 a（较小边）和 c（较大边），已知一个角 A 是锐角且与边 a 相对。如果 sinA<a/c，则存在两个可能的三角形。如果 sinA=a/c，则存在一个可能的三角形。如果 sinA>a/c，则不存在可能的三角形。这就是ASS定理。设 a 为底边长度，h 为高，则

Delta=1/2ah
(18)
=1/2acsinB
(19)

（SAS定理）。最后，如果指定了所有三条边，则可以确定一个唯一的三角形，其面积由海伦公式或

Delta=(abc)/(4R),
(20)

给出

TrilinearCoordinates

其中 R 是外接圆半径。这就是SSS定理。

TriangleConstruction

在三角形几何中，通常使用相对于给定所谓的参考三角形的每条边的距离定义的三元坐标非常方便。这种坐标的一种形式被称为三线性坐标 alpha:beta:gamma，所有坐标都具有相同符号对应于三角形内部，一个坐标为零对应于边上的点，两个坐标为零对应于顶点，具有不同符号的坐标对应于三角形外部。

IncircleCircumcircle

三角形的直尺和圆规作图可以按如下方式完成。在上图中，取 OP_0 作为半径，并画出 OB_|_OP_0。然后平分 OB，并构造 P_2P_1∥OP_0。延长 BO 到 P_3，得到等边三角形 DeltaP_1P_2P_3。另一种作图方法是画一个以点 O 为中心，半径为 r 的圆。在圆的圆周上选择一个点 B，并画另一个以 B 为中心，半径为 r 的圆。这两个圆在两个点 P_1 和 P_2 相交，P_3 是直线 B_O 与第一个圆相交的第二个点。

在《几何原本》的命题 IV.4 中，欧几里得展示了如何通过找到角平分线的交点，即内心 I，在给定三角形中内接一个圆（内切圆）。在命题 IV.5 中，他展示了如何通过找到垂直平分线的交点，即外心 O，在给定三角形上外切一个圆（外接圆）。与具有 n>=4 条边的普通多边形不同，三角形总是同时具有外接圆和内切圆。这样的多边形称为双心多边形。

x^2+y^2=b^2
(21)
(x-c)^2+y^2=a^2
(22)

可以通过选择顶点 (0, 0)、(c,0) 和 (x,y)，然后求解以下方程组，构造一个边长为 a、b 和 c 的三角形：

x=(-a^2+b^2+c^2)/(2c)
(23)
=bcosA
(24)
y=+/-(sqrt((-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)))/(2c)
(25)
=+/-(2Delta)/c.
(26)

同时得到

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc),
(27)

三角形的角满足余弦定理

cotA=(b^2+c^2-a^2)/(4Delta)
(28)

以及

cotA+cotB+cotC=(a^2+b^2+c^2)/(4Delta).
(29)

其中 Delta 是面积（Johnson 1929, p. 11，添加了缺失的平方符号）。后者给出了漂亮的恒等式

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
(30)

此外，

cotBcotC+cotCcotA+cotAcotB=1
(31)
tanAcotBcotC+tanBcotCcotA+tanCcotAcotB =tanA+tanB+tanC+2(cotA+cotB+cotC)
(32)

（F.J. n.d., p. 206; Borchardt and Perrott 1930）并且

cot(1/2A)+cot(1/2B)+cot(1/2C) =cot(1/2A)cot(1/2B)cot(1/2C).
(33)

（Siddons and Hughes 1929），并且

cos^2A+cos^2B+cos^2C+2cosAcosBcosC=1,
(34)

其他公式包括

cos(nA)=cos[n(B+C)]
(35)
cos(nB)=cos[n(A+C)]
(36)
cos(nC)=cos[n(A+B)]
(37)

并且

对于偶数 n（Weisstein, 2003 年 1 月 31 日和 2004 年 3 月 3 日）。

cos(1/2A)=sqrt((s(s-a))/(bc))
(38)
sin(1/2A)=sqrt(((s-b)(s-c))/(bc))
(39)
tan(1/2A)=sqrt(((s-b)(s-c))/(s(s-a))),
(40)

三角形中半角的三角函数可以用三角形的边来表示为

其中 s 是半周长。

SideParallels

以恒定比例分割三角形的边r<1/2，然后绘制平行于相邻边并穿过这些点的直线，会得到线段，这些线段会相交并且与其中一条中线相交于三个点。如果r>1/2，则边平行线的延伸线会与中线的延伸线相交。

中线平分三角形的面积，边平行线在比例为1+sqrt(2)时也会平分三角形面积。平分三角形面积的直线的包络线形成三个双曲线弧。然而，对于将三角形面积划分为恒定但不相等比例的直线，包络线会更加复杂（Dunn and Petty 1972，Ball 1980，Wells 1991）。

有四个圆与三角形的边相切，一个内切（内切圆），其余为外切（外切圆）。它们的中心是三角形角平分线的交点。

任何三角形都可以定位成使得它在正交投影下的阴影是等边三角形。

另请参阅

锐角三角形, 等边三角形, 等腰三角形, 钝角三角形, 五边形, 多边形, 直角三角形, 不等边三角形, 正方形, 正方形中选三角形, 三角形面积, 三角形几何, 三角形中选三角形, 三线坐标 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

Baker, M. "平面三角形面积公式集。" Ann. Math. 1, 134-138, 1884.Ball, D. "平分包络线。" Math. Gaz. 64, 166-172, 1980.Berkhan, G. 和 Meyer, W. F. "现代三角形几何。" 在 数学百科全书，第 3AB 卷 10 (Ed. F. Klein). Leipzig: Teubner, pp. 1173-1276, 1914.Beyer, W. H. (Ed.). CRC 标准数学表格，第 28 版。 Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 123-124, 1987.Borchardt, W. G. 和 Perrott, A. D. §133 在 学校用新三角学。 London: G. Bell, 1930.Casey, J. 欧几里得几何原本前六卷的续篇，包含现代几何的简单介绍和大量示例，第 5 版，修订增补版。 Dublin: Hodges, Figgis, & Co., 1888.Coxeter, H. S. M. 几何学导论，第 2 版。 New York: Wiley, 1969.Davis, P. "三角形几何的兴衰及其可能的转变：一段简史。" Amer. Math. Monthly 102, 204-214, 1995.Dunn, J. A. 和 Petty, J. E. "平分一个三角形。" Math. Gaz. 56, 105-108, 1972.Durell, C. V. "三角形的性质。" 第 3 章，在 现代几何：直线和圆。 London: Macmillan, pp. 19-31, 1928.Eppstein, D. "三角形和单形。" http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/triangulation.html.Feuerbach, K. W. 直线三角形的几个奇异点和一些由确定的直线和图形组成的性质。 Nürnberg, Germany: Riegel und Wiesner, 1822.F. J. 直线三角元素。 Paris: J. de Gigord, n.d.Fukagawa, H. 和 Pedoe, D. "一个或两个圆和三角形"，"三个圆和三角形"，"四个圆和三角形"，"五个圆和三角形"，"许多圆和三角形"，"三角形。" §2.2-2.6 和 4.1 在 日本寺庙几何问题。 Winnipeg, Manitoba, Canada: Charles Babbage Research Foundation, pp. 26-37, 46-47, 102-116, 129-130, 1989.Honsberger, R. "论三角形。" 第 3 章，在 十九世纪和二十世纪欧几里得几何的插曲。 Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 27-33, 1995.Johnson, R. A. 现代几何：三角形和圆的几何的初等论著。 Boston, MA: Houghton Mifflin, 1929.Jurgensen, R. C.; Donnelly, A. J.; 和 Dolciani, M. P. Th. 42 在 现代几何：结构和方法。 Boston, MA: Houghton-Mifflin, 1963.Kimberling, C. "三角形平面中的中心点和中心线。" Math. Mag. 67, 163-187, 1994.Kimberling, C. "三角形中心和中心三角形。" Congr. Numer. 129, 1-295, 1998.Lachlan, R. "三角形的性质。" 第 6 章，在 现代纯几何初等论著。 London: Macmillian, pp. 51-81, 1893.Le Lionnais, F. 著名数字。 Paris: Hermann, p. 28, 1983.Schröder, R. 三角形及其切圆：计算几何练习领域，第一部分。 Gross-Lichterfelde, Germany: Oberrealschule Gross-Lichterfelde, 1909.Schröder, R. 三角形及其切圆：计算几何练习领域，第二部分。 Gross-Lichterfelde, Germany: Oberrealschule Gross-Lichterfelde, 1910.Siddons, A. W. 和 Hughes, R. T. 三角学，第一部分。 London: Cambridge University Press, 1929a.Siddons, A. W. 和 Hughes, R. T. 三角学，第二部分。 London: Cambridge University Press, 1929b.Siddons, A. W. 和 Hughes, R. T. 三角学，第三部分。 London: Cambridge University Press, 1929c.Siddons, A. W. 和 Hughes, R. T. 三角学，第四部分。 London: Cambridge University Press, 1929d.Vandeghen, A. "关于等角和塞维变换的一些评论。三角形的显著点的对齐。" Amer. Math. Monthly 72, 1091-1094, 1965.Wells, D. 企鹅好奇有趣的几何词典。 London: Penguin, p. 21, 1991.

请引用为

Weisstein, Eric W. "三角形。" 来自 MathWorld--沃尔夫勒姆网络资源。 https://mathworld.net.cn/Triangle.html

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