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圆锥曲线

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圆锥曲线是由一个平面与一个圆锥的一个或两个锥面相交产生的非退化曲线。对于垂直于圆锥轴线的平面，会产生一个圆。对于不垂直于轴线且仅与一个锥面相交的平面，产生的曲线是椭圆或抛物线（Hilbert and Cohn-Vossen 1999, p. 8）。与两个锥面相交的平面产生的曲线是双曲线（Hilbert and Cohn-Vossen 1999, pp. 8-9）。

椭圆和双曲线被称为中心圆锥曲线。

由于这种简单的几何解释，早在圆锥曲线应用于平方反比定律轨道之前，希腊人就已经对其进行了研究。阿波罗尼奥斯撰写了关于该主题的古代经典著作，题为《圆锥曲线论》。开普勒首先注意到行星轨道是椭圆，然后牛顿能够利用微积分，在引力与距离的平方成反比的假设下，数学推导出轨道的形状。根据轨道物体的能量，轨道形状可以是四种圆锥曲线中的任何一种。

圆锥曲线可以更正式地定义为一个点 P 的轨迹，该点在一个固定点 F（称为焦点）和一个固定直线 d（称为圆锥曲线准线，且 F 不在 d 上）的平面内移动，使得点 P 到焦点 F 的距离与其到准线 d 的距离之比是一个常数 e，称为离心率。如果 e=0，则圆锥曲线是圆；如果 0<e<1，则圆锥曲线是椭圆；如果 e=1，则圆锥曲线是抛物线；如果 e>1，则是双曲线。

圆锥曲线，其准线在 x=0，焦点在 (p,0)，离心率 e>0，具有笛卡尔坐标方程

y^2+(1-e^2)x^2-2px+p^2=0
(1)

（Yates 1952, p. 36），其中 p 称为焦参数。代入 p 得到

y^2+(1-e^2)x^2-(2a(1-e^2))/ex+(a^2(1-e^2)^2)/(e^2)=0,
(2)

对于椭圆，

y^2=4a(x-a),
(3)

对于抛物线，以及

y^2+(1-e^2)x^2-(2a(e^2-1))/ex+(a^2(e^2-1)^2)/(e^2)=0
(4)

对于双曲线。

焦参数为 p 的圆锥曲线的极坐标方程由下式给出

r=(pe)/(1+ecostheta).
(5)

以焦点为垂足点的圆锥曲线的垂足曲线是圆或直线。特别是，椭圆垂足曲线和双曲线垂足曲线都是圆，而抛物线垂足曲线是一条直线（Hilbert and Cohn-Vossen 1999, pp. 25-27）。

ConicSection5Points

平面上的五个点确定一个圆锥曲线（Coxeter and Greitzer 1967, p. 76；Le Lionnais 1983, p. 56；Wells 1991），平面上的五条切线也是如此（Wells 1991）。这源于圆锥曲线是二次曲线的事实，其一般形式为

ax^2+2bxy+cy^2+dx+fy+g=0,
(6)

因此，两边同除以 a 得到

x^2+2b^'xy+c^'y^2+d^'x+f^'y+g^'=0
(7)

剩下五个常数。因此，五个点 (x_i,y_i)，其中 i=1, ..., 5，唯一地确定了这些常数。从位于圆锥曲线上的五个点进行几何构造称为 Braikenridge-Maclaurin 构造。此圆锥曲线的显式方程由以下方程给出

|x^2 xy y^2 x y 1; x_1^2 x_1y_1 y_1^2 x_1 y_1 1; x_2^2 x_2y_2 y_2^2 x_2 y_2 1; x_3^2 x_3y_3 y_3^2 x_3 y_3 1; x_4^2 x_4y_4 y_4^2 x_4 y_4 1; x_5^2 x_5y_5 y_5^2 x_5 y_5 1|=0.
(8)

圆锥曲线在三线坐标中的一般方程是

ualpha^2+vbeta^2+wgamma^2+2fbetagamma+2ggammaalpha+2halphabeta=0
(9)

（Kimberling 1998, p. 234）。对于以三线坐标 alpha:beta:gamma 指定的五个点，它们确定的圆锥曲线由下式给出

|alpha^2 beta^2 gamma^2 betagamma gammaalpha alphabeta; alpha_1^2 beta_1^2 gamma_1^2 beta_1gamma_1 gamma_1alpha_1 alpha_1beta_1; alpha_2^2 beta_2^2 gamma_2^2 beta_2gamma_2 gamma_2alpha_2 alpha_2beta_2; alpha_3^2 beta_3^2 gamma_3^2 beta_3gamma_3 gamma_3alpha_3 alpha_3beta_3; alpha_4^2 beta_4^2 gamma_4^2 beta_4gamma_4 gamma_4alpha_4 alpha_4beta_4; alpha_5^2 beta_5^2 gamma_5^2 beta_5gamma_5 gamma_5alpha_5 alpha_5beta_5|=0.
(10)

（Kimberling 1998, p. 235）。

两个不重合或不具有整条公共直线的圆锥曲线不能在超过四个点处相交（Hilbert and Cohn-Vossen 1999, pp. 24 和 160）。存在一个与四条直线相切的无限圆锥曲线族。然而，在平面分割将平面切割成的十一个区域中，只有五个区域可以包含与所有四条直线相切的圆锥曲线。抛物线只能在一个区域中出现（该区域也包含椭圆和双曲线的一个分支），并且唯一的封闭区域仅包含椭圆。

设一个 2n 边的多边形内接于给定的圆锥曲线，多边形的边根据某种确定的约定交替地称为“奇数”边和“偶数”边。那么，奇数边与不相邻的偶数边相交的 n(n-2) 个点位于 n-2 阶曲线上（Evelyn et al. 1974, p. 30）。

另请参阅

Braikenridge-Maclaurin 构造, Braikenridge-Maclaurin 定理, Brianchon 定理, 中心圆锥曲线, 圆, 外接圆锥曲线, 圆锥, 圆柱截线, 离心率, 椭圆, 椭球截面, Fermat 圆锥曲线, 焦参数, 四圆锥曲线定理, Frégier 定理, 双曲线, 内切圆锥曲线, 锥面, 抛物线, Pascal 定理, 椭圆的平面分割, 二次曲线, Seydewitz 定理, 偏斜圆锥曲线, 球面截线, 球状截面, Steiner 定理, 三圆锥曲线定理, 环面截线 在 MathWorld 课堂中探索此主题

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参考文献

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在 Wolfram|Alpha 中引用

圆锥曲线

请引用为

Weisstein, Eric W. "Conic Section." 来自 MathWorld——Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/ConicSection.html

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