多项式

多项式是一个数学表达式，包含一个或多个变量的幂与系数的乘积之和。一个单变量多项式（即单变量多项式），其系数为常数，由下式给出：

(1)

包含系数的各个加数（通常）被称为单项式（Becker 和 Weispfenning 1993，第 191 页），而在多元情况下，形式为 的乘积，即省略系数，被称为项（Becker 和 Weispfenning 1993，第 188 页）。然而，“单项式”一词有时也用于表示不带系数的多项式加数，而在一些较早期的著作中，单项式和项的定义是相反的。因此，在试图区分这些冲突的用法时需要谨慎。

单变量多项式中的最高幂称为其阶，或有时称为其次数。

任何多项式 ，其中 可以表示为：

(2)

其中乘积遍历 的根 ，并且理解为重根按重数计数。

一个双变量多项式（即双变量多项式），其系数为常数，由下式给出：

(3)

两个多项式的和是通过将具有相同变量幂（即相同的项）的系数相加得到的，例如，

(4)

其阶数小于（在首项抵消的情况下）或等于原始两个多项式的最大阶数。类似地，两个多项式的乘积是通过逐项相乘并组合结果得到的，例如

			(5)
			(6)

其阶数等于原始两个多项式的阶数之和。

一个多项式商

(7)

两个多项式 和 被称为有理函数。执行这种除法的过程称为长除法，其中综合除法是记录除法的简化方法。

对于任何多项式 ， 可以整除 ，这意味着多项式商是一个有理多项式，或者在整系数多项式的情况下，是另一个整系数多项式（N. Sato，私人通信，2004 年 11 月 23 日）。

将系数首尾交换，产生一个多项式

(8)

其根是原始根 的倒数 倒数 。

霍纳法则 提供了一种从其系数列表形成多项式的计算高效方法，并且可以在 Wolfram 语言 中实现，如下所示。

  Polynomial[l_List, x_] := Fold[x #1 + #2&, 0, l]

下表给出了低阶多项式的特殊名称。

如果先计算一些量，则可以使用三次乘法和五次加法计算四次多项式（Press et al. 1989）

(9)

其中

			(10)
			(11)
			(12)
			(13)
			(14)

类似地，可以使用四次乘法和五次加法计算五次多项式，可以使用四次乘法和七次加法计算六次多项式。

一阶到四阶多项式仅使用有理运算和有限开方即可求解。一阶方程是平凡可解的。二阶方程可以使用二次方程求解。三阶方程可以使用三次方程求解。四阶方程可以使用四次方程求解。Abel 和 Galois 使用群论证明了五阶和更高阶的一般方程不能通过有限开方进行有理解（阿贝尔不可能性定理）。

然而，一般五次方程的解可以用单变量雅可比 theta 函数或超几何函数表示。Hermite 和 Kronecker 证明了更高阶的多项式不能以相同的方式求解。Klein 表明 Hermite 的工作隐含在群的二十面体性质中。Klein 的用单变量超几何函数求解五次方程的方法可以扩展到六次方程，但对于更高阶的多项式，必须使用多变量超几何函数或“Siegel 函数”（Belardinelli 1960，King 1996，Chow 1999）。在 1880 年代，Poincaré 创建了以有限形式给出 阶多项式方程解的函数。这些函数被证明是椭圆函数的“自然”推广。