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埃尔米特多项式

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HermiteH

埃尔米特多项式 H_n(x) 是一组在域 (-infty,infty) 上关于 正交多项式，其权重函数为 e^(-x^2)，如上图所示，对于 n=1、2、3 和 4。埃尔米特多项式在 Wolfram 语言中实现为HermiteH[n, x].

埃尔米特多项式 H_n(z) 可以通过轮廓积分定义

H_n(z)=(n!)/(2pii)∮e^(-t^2+2tz)t^(-n-1)dt,
(1)

其中轮廓包围原点，并沿逆时针方向遍历 (Arfken 1985, p. 416)。

前几个埃尔米特多项式是

H_0(x)=1
(2)
H_1(x)=2x
(3)
H_2(x)=4x^2-2
(4)
H_3(x)=8x^3-12x
(5)
H_4(x)=16x^4-48x^2+12
(6)
H_5(x)=32x^5-160x^3+120x
(7)
H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120
(8)
H_7(x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x
(9)
H_8(x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680
(10)
H_9(x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x
(11)
H_(10)(x)=1024x^(10)-23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240.
(12)

当按从小到大的幂排序时，非零系数的三角形为 1; 2; -2, 4; -12, 8; 12, -48, 16; 120, -160, 32; ... (OEIS A059343)。

值 H_n(0) 可以称为 埃尔米特数。

埃尔米特多项式是 谢弗序列，其中

g(t)=e^(t^2/4)
(13)
f(t)=1/2t
(14)

(Roman 1984, p. 30)，给出指数生成函数

exp(2xt-t^2)=sum_(n=0)^infty(H_n(x)t^n)/(n!).
(15)

使用泰勒级数表明

H_n(x)=[(partial/(partialt))^nexp(2xt-t^2)]_(t=0)
(16)
=[e^(x^2)(partial/(partialt))^ne^(-(x-t)^2)]_(t=0).
(17)

由于 partialf(x-t)/partialt=-partialf(x-t)/partialx,

H_n(x)=(-1)^ne^(x^2)[(partial/(partialx))^ne^(-(x-t)^2)]_(t=0)
(18)
=(-1)^ne^(x^2)(d^n)/(dx^n)e^(-x^2).
(19)

现在定义算符

O^~_1=-e^(x^2)d/(dx)e^(-x^2)
(20)
O^~_2=e^(x^2/2)(x-d/(dx))e^(-x^2/2).
(21)

由此得出

O^~_1f=-e^(x^2)d/(dx)[fe^(-x^2)]
(22)
=2xf-(df)/(dx)
(23)
O^~_2f=e^(x^2/2)(x-d/(dx))[fe^(-x^2/2)]
(24)
=xf+xf-(df)/(dx)
(25)
=2xf-(df)/(dx),
(26)

因此

O^~_1=O^~_2,
(27)

并且

-e^(x^2)d/(dx)e^(-x^2)=e^(x^2/2)(x-d/(dx))e^(-x^2/2)
(28)

(Arfken 1985, p. 720)，这意味着以下定义是等价的

exp(2xt-t^2)=sum_(n=0)^(infty)(H_n(x)t^n)/(n!)
(29)
H_n(x)=(-1)^ne^(x^2)(d^n)/(dx^n)e^(-x^2)
(30)
H_n(x)=e^(x^2/2)(x-d/(dx))^ne^(-x^2/2)
(31)

(Arfken 1985, pp. 712-713 和 720)。

埃尔米特多项式可以写成

H_n(z)=(2z)^n_2F_0(-1/2n,-1/2(n-1);;-z^(-2))
(32)
=2^nz^n(z^2)^(-n/2)U(-1/2n,1/2,z^2)
(33)

(Koekoek 和 Swarttouw 1998)，其中 U(a,b,z) 是第二类合流超几何函数，可以简化为

H_n(z)=2^nU(-1/2n,1/2,z^2)
(34)

在右半平面 R[z]>0 中。

埃尔米特多项式与 erf 的导数有关，关系式为

H_n(z)=1/2(-1)^nsqrt(pi)e^(z^2)(d^(n+1))/(dz^(n+1))erf(z).
(35)

它们具有轮廓积分表示

H_n(x)=(n!)/(2pii)∮e^(-t^2+2tx)t^(-n-1)dt.
(36)

它们在范围 (-infty,infty) 内关于权重函数 e^(-x^2) 是正交的

int_(-infty)^inftyH_m(x)H_n(x)e^(-x^2)dx=delta_(mn)2^nn!sqrt(pi).
(37)

埃尔米特多项式满足对称条件

H_n(-x)=(-1)^nH_n(x).
(38)

它们也服从递推关系

H_(n+1)(x)=2xH_n(x)-2nH_(n-1)(x)
(39)
H_n^'(x)=2nH_(n-1)(x).
(40)

通过求解埃尔米特微分方程，得到级数

H_(2k)(x)=(-1)^k2^k(2k-1)!![1+sum_(j=1)^(k)((-4k)(-4k+4)...(-4k+4j-4))/((2j)!)x^(2j)]
(41)
=(-2)^k(2k-1)!!_1F_1(-k;1/2;x^2)
(42)
H_(2k+1)(x)=(-1)^k2^(k+1)(2k+1)!![x+sum_(j=1)^(k)((-4k)(-4k+4)...(-4k+4j-4))/((2j+1)!)x^(2j+1)]
(43)
=(-1)^k2^(k+1)(2k+1)!!x_1F_1(-k;3/2;x^2)
(44)

得到，其中分子中的乘积等于

(-4k)(-4k+4)...(-4k+4j-4)=4^j(-k)_j,
(45)

其中 (x)_n 是 Pochhammer 符号。

设一组关联函数定义为

u_n(x)=sqrt(a/(pi^(1/2)n!2^n))H_n(ax)e^(-a^2x^2/2),
(46)

那么 u_n 满足正交条件

int_(-infty)^inftyu_n(x)(du_m)/(dx)dx={asqrt((n+1)/2) m=n+1; -asqrt(n/2) m=n-1; 0 otherwise
(47)
int_(-infty)^inftyu_m(x)u_n(x)dx=delta_(mn)
(48)
int_(-infty)^inftyu_m(x)xu_n(x)dx={1/asqrt((n+1)/2) m=n+1; 1/asqrt(n/2) m=n-1; 0 otherwise
(49)
int_(-infty)^inftyu_m(x)x^2u_n(x)dx={(sqrt(n(n-1)))/(2a^2) m=n-2; (2n+1)/(2a^2) m=n; (sqrt((n+1)(n+2)))/(2a^2) m=n+2; 0 m!=n!=n+/-2
(50)
int_(-infty)^inftye^(-x^2)H_alpha(x)H_beta(x)H_gamma(x)dx=sqrt(pi)(2^salpha!beta!gamma!)/((s-alpha)!(s-beta)!(s-gamma)!),
(51)

如果 alpha+beta+gamma=2s 是偶数且 s>=alpha、s>=beta 和 s>=gamma。否则，最后一个积分为 0 (Szegö 1975, p. 390)。另一个积分是

int_(-infty)^inftyu_n(x)x^ru_m(x)dx={0 if r-n-m is odd; (r!)/((2a)^r)sqrt((2^(m+n))/(m!n!))sum_(p=max(0,-s))^(min(m,n))(n; p)(m; p)(p!)/(2^p(s+p)!) otherwise,
(52)

其中 s=(r-n-m)/2 且 (n; k) 是二项式系数 (T. Drane，私人通信，2006 年 2 月 14 日)。

多项式判别式为

D_n=2^(3n(n-1)/2)product_(k=1)^nk^k
(53)

(Szegö 1975, p. 143)，超阶乘的归一化形式，前几个值为 1, 32, 55296, 7247757312, 92771293593600000, ... (OEIS A054374)。结式表由 {0}, {-8,0}, {0,-2048,0}, {192,16384,28311552,0}, ... (OEIS A054373) 给出。

涉及 H_n(x+y) 的两个有趣的恒等式由下式给出

sum_(k=0)^n(n; k)H_k(x)H_(n-k)(y)=2^(n/2)H_n(2^(-1/2)(x+y))
(54)

并且

sum_(k=0)^n(n; k)H_k(x)(2y)^(n-k)=H_n(x+y)
(55)

(G. Colomer，私人通信)。一个非常漂亮的恒等式是

H_n(x+y)=(H+2y)^n,
(56)

其中 H^k=H_k(x) (T. Drane，私人通信，2006 年 2 月 14 日)。

它们也服从求和公式

sum_(k=0)^n(-1)^(n-k)(n; k)H_n(k)=2^nn!,
(57)

以及更复杂的

H_n(x)=H_n+sum_(m=0)^(|_n/2_|)[sum_(k=1)^(n-2m)(-1)^kS(n-2m,k)(-x)_k]×((-1)^m2^(n-2m)n!)/((n-2m)!m!),
(58)

其中 H_n=H_n(0) 是埃尔米特数，S(n,k) 是第二类斯特林数，而 (x)_n 是 Pochhammer 符号 (T. Drane，私人通信，2006 年 2 月 14 日)。

Subramanyan (1990) 研究了一类广义埃尔米特多项式 gamma_n^m(x)，其满足

e^(mxt-t^m)=sum_(n=0)^inftygamma_n^m(x)t^n
(59)

Subramanyan (1990) 研究了 ... Djordjević (1996) 研究了一类由下式定义的相关多项式

h_(n,m)=gamma_n^m((2x)/m)
(60)

以及生成函数

e^(2xt-t^m)=sum_(n=0)^inftyh_(n,m)(x)t^n
(61)

Djordjević (1996) 研究了 ... 它们满足

H_n(x)=n!h_(n,2)(x).
(62)

Roman (1984, pp. 87-93) 定义了广义埃尔米特多项式 H_n^((nu))(x)，其方差为 nu。

埃尔米特多项式的修改版本有时（但很少）由下式定义

He_n(x)=2^(-n/2)H_n(x/(sqrt(2)))
(63)

(Jörgensen 1916; Magnus 和 Oberhettinger 1948; Slater 1960, p. 99; Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 778)。这些多项式的前几个由下式给出

He_1(x)=x
(64)
He_2(x)=x^2-1
(65)
He_3(x)=x^3-3x
(66)
He_4(x)=x^4-6x^2+3
(67)
He_5(x)=x^5-10x^3+15x.
(68)

当按从小到大的幂排序时，非零系数的三角形为 1; 1; -1, 1; -3, 1; 3, -6, 1; 15, -10, 1; ... (OEIS A096713)。多项式 He_n(x) 是独立多项式，完全图 K_n 的。

另请参阅

埃尔米特数, Mehler 的埃尔米特多项式公式, 多元埃尔米特多项式, 韦伯函数

相关的 Wolfram 网站

http://functions.wolfram.com/Polynomials/HermiteH/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/HermiteHGeneral/

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). "正交多项式." 第 22 章 见 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, 页 771-802, 1972.Andrews, G. E.; Askey, R.; 和 Roy, R. "埃尔米特多项式." §6.1 见 特殊函数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 页 278-282, 1999.Arfken, G. "埃尔米特函数." §13.1 见 物理学家数学方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, 页 712-721, 1985.Chebyshev, P. L. "关于单变量函数的展开." Bull. ph.-math., Acad. Imp. Sc. St. Pétersbourg 1, 193-200, 1859.Chebyshev, P. L. Oeuvres, 卷 1。 New York: Chelsea, 页 49-508, 1987.Djordjević, G. "关于广义埃尔米特多项式的一些性质." Fib. Quart. 34, 2-6, 1996.Hermite, C. "关于函数级数的新展开." Compt. Rend. Acad. Sci. Paris 58, 93-100 和 266-273, 1864. 重印于 Hermite, C. Oeuvres complètes, tome 2。 Paris, 页 293-308, 1908.Hermite, C. Oeuvres complètes, tome 3。 Paris: Hermann, 页 432, 1912.Iyanaga, S. 和 Kawada, Y. (编). "埃尔米特多项式." 附录 A, 表 20.IV 见 数学百科词典。 Cambridge, MA: MIT Press, 页 1479-1480, 1980.Jeffreys, H. 和 Jeffreys, B. S. "抛物柱面函数、埃尔米特函数和 Hh 函数" §23.08 见 数学物理方法，第 3 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 页 620-622, 1988.Jörgensen, N. R. Undersögler over frekvensflader og korrelation。 Copenhagen, Denmark: Busck, 1916.Koekoek, R. 和 Swarttouw, R. F. "埃尔米特." §1.13 见 超几何正交多项式的 Askey 方案及其 q-类似物。 Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, 页 50-51, 1998.Magnus, W. 和 Oberhettinger, F. 第 5 章 见 数学物理特殊函数的公式和定理，第 2 版。 Berlin: Springer-Verlag, 1948.Roman, S. "埃尔米特多项式." §4.2.1 见 Umbral Calculus。 New York: Academic Press, 页 30 和 87-93, 1984.Rota, G.-C.; Kahaner, D.; Odlyzko, A. "埃尔米特多项式." §10 见 "关于组合理论的基础。VIII：有限算子微积分。" J. Math. Anal. Appl. 42, 684-760, 1973.Sansone, G. "拉盖尔级数和埃尔米特级数展开." 第 4 章 见 正交函数，修订英文版。 New York: Dover, 页 295-385, 1991.Slater, L. J. 合流超几何函数。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1960.Sloane, N. J. A. 序列 A054373, A054374, A059343, 和 A096713 载于 "整数序列在线百科全书"。Spanier, J. 和 Oldham, K. B. "埃尔米特多项式 H_n(x)." 第 24 章 见 函数图集。 Washington, DC: Hemisphere, 页 217-223, 1987.Subramanyan, P. R. "埃尔米特多项式的弹簧." Fib. Quart. 28, 156-161, 1990.Szegö, G. 正交多项式，第 4 版。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

埃尔米特多项式

请引用为

Weisstein, Eric W. “埃尔米特多项式。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/HermitePolynomial.html

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