群

一个群 是一个有限或无限的元素集合，以及一个 二元运算（称为群运算），它们共同满足封闭性、结合性、单位元性质和逆元性质这四个基本性质。定义群所依据的运算通常称为“群运算”，并且称一个集合在这个运算“下”是一个群。 元素 , , , ... ，其中 和 之间的二元运算记为 ，如果满足以下条件，则构成一个群：

1. 封闭性：如果 和 是 中的两个元素，那么它们的乘积 也在 中。

2. 结合性：定义的乘法是结合的，即对于所有 ，。

3. 单位元：存在一个单位元 (也称为 1, , 或 )，使得对于每个元素，都有 。

4. 逆元：每个元素都必须存在一个逆元（也称为倒数）。因此，对于 的每个元素 ，该集合包含一个元素 ，使得 。

一个群是一个 幺半群，其每个元素都是可逆的。

一个群必须包含至少一个元素，具有唯一（直到同构）的单元素群称为平凡群。

对群的研究称为群论。如果元素的数量是有限的，则该群称为有限群，并且元素的数量称为该群的群阶。在群运算和逆运算下封闭的群的子集称为子群。子群也是群，并且许多常见的群实际上是一些更一般的较大群的特殊子群。

有限群的一个基本例子是对称群 ，它是 个对象的排列（或“在排列下”）的群。最简单的无限群是整数集合在通常加法下的群。对于连续群，可以考虑实数集合或 可逆矩阵的集合。后两个是李群的例子。

一种非常常见的群类型是循环群。这个群与整数群（模）同构，用 、 或 表示，并且对每个整数 定义。它在加法下封闭，具有结合性，并且有唯一的逆元。从 0 到 的数字表示其元素，单位元用 0 表示， 的逆元用 表示。

两个群之间保留单位元和群运算的映射称为同态。如果一个同态有一个也是同态的逆映射，则它称为同构，并且这两个群被称为同构。当被视为抽象群时，彼此同构的两个群被认为是“相同的”。例如，如下所示的正方形的旋转群是循环群 。

一般来说，群作用是指一个群作用于一个集合，置换其元素，使得从群到该集合的置换群的映射是一个同态。例如，正方形的旋转是其角点的排列的子群。对于任何群 ，一个重要的群作用是它通过共轭作用于自身。这些只是一些可能的群自同构。另一种重要的群作用是群表示，其中群通过可逆线性映射作用于向量空间。当向量空间的域是复数时，有时表示被称为CG 模。

群作用，特别是表示，在应用中非常重要，不仅对群论很重要，而且对物理和化学也很重要。由于可以将群视为一个抽象的数学对象，因此同一个群可能会出现在不同的上下文中。因此，将群的表示视为群的特定体现是有用的，该群也可能具有其他表示。群的不可约表示是一种表示，对于该表示，不存在可以将表示矩阵转换为分块对角形式的酉变换。正如在群正交性定理中所形式化的那样，不可约表示具有许多显著的性质。