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洛梅尔多项式

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洛梅尔多项式 R_(m,nu)(z) 源于以下方程

J_(m+nu)(z)=J_nu(z)R_(m,nu)(z)-J_(nu-1)(z)R_(m-1,nu+1)(z),
(1)

其中 J_nu(z) 是第一类贝塞尔函数，而 nu 是复数（Watson 1966, p. 294）。该函数由下式给出

R_(m,nu)(z)=(Gamma(nu+m))/(Gamma(nu)(z/2)^m)_2F_3(1/2(1-m),-1/2m;nu,-m,1-nu-m;-z^2)
(2)

(Watson 1966, §9.61, p. 297, eqn. 5; Erdelyi et al. 1981, §7.5.2, p. 34, eqn. 25)，其中 _2F_3(a,b;c,d,e;z) 是广义超几何函数，而 Gamma(z) 是伽玛函数，以及

R_(m,nu)(z)=(piz)/(2sin(nupi))[J_(nu+m)(z)J_(-nu+1)(z)+(-1)^mJ_(-nu-m)(z)J_(nu-1)(z)]
(3)

(Watson 1966, §9.61, p. 295, eqn. 2; Erdelyi et al. 1981, §7.5.2, pp. 34-35, eqn. 26)。

由于 (1) 必须简化为贝塞尔函数的常用递推公式，因此得出

R_(0,nu)(z)=1
(4)
R_(1,nu)(z)=(2nu)/z.
(5)

另请参阅

洛梅尔微分方程, 洛梅尔函数

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参考文献

Erdelyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. "Lommel's Polynomials." §7.5.2 in Higher Transcendental Functions, 卷. 2. Krieger, 页. 34-35, 1981.Iyanaga, S. and Kawada, Y. (Eds.). Encyclopedic Dictionary of Mathematics. Cambridge, MA: MIT Press, 页. 1477, 1980.Watson, G. N. §9.6-9.65 in A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 页. 294-303, 1966.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

洛梅尔多项式

请引用为

Weisstein, Eric W. "洛梅尔多项式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/LommelPolynomial.html

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