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Gegenbauer 多项式

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Gegenbauer 多项式 C_n^((lambda))(x) 是 Gegenbauer 微分方程 对于 整数 n 的解。它们是关联 Legendre 多项式 到 (2lambda+2)-D 空间的推广，并且与（或者，取决于归一化，等于）超球面多项式 P_n^((lambda))(x) 成正比。

按照 Szegö，在这项工作中，Gegenbauer 多项式根据 Jacobi 多项式 P_n^((alpha,beta))(x) 给出，其中 alpha=beta=lambda-1/2，通过

C_n^((lambda))(x)=(Gamma(lambda+1/2))/(Gamma(2lambda))(Gamma(n+2lambda))/(Gamma(n+lambda+1/2))P_n^((lambda-1/2,lambda-1/2))(x)
(1)

(Szegö 1975, p. 80)，因此使它们等同于在 Wolfram Language 中实现的 Gegenbauer 多项式，如GegenbauerC[n, lambda, x]。这些多项式也由生成函数给出

1/((1-2xt+t^2)^lambda)=sum_(n=0)^inftyC_n^((lambda))(x)t^n.
(2)

前几个 Gegenbauer 多项式是

C_0^((lambda))(x)=1
(3)
C_1^((lambda))(x)=2lambdax
(4)
C_2^((lambda))(x)=-lambda+2lambda(1+lambda)x^2
(5)
C_3^((lambda))(x)=-2lambda(1+lambda)x+4/3lambda(1+lambda)(2+lambda)x^3.
(6)

用超几何函数表示，

C_n^((lambda))(x)=(n+2lambda-1; n)_2F_1(-n,n+2lambda;lambda+1/2;1/2(1-x))
(7)
=2^n(n+lambda-1; n)(x-1)^n_2F_1(-n,-n-lambda+1/2;-2n-2lambda+1;2/(1-x))
(8)
=(n+2lambda+1; n)((x+1)/2)^n_2F_1(-n,-n-lambda+1/2;lambda+1/2;(x-1)/(x+1)).
(9)

它们通过以下方式归一化

int_(-1)^1(1-x^2)^(lambda-1/2)[C_n^((lambda))]^2dx=2^(1-2lambda)pi(Gamma(n+2lambda))/((n+lambda)Gamma^2(lambda)Gamma(n+1))
(10)

对于 lambda>-1/2。

导数恒等式包括

d/(dx)C_n^((lambda))(x)=2lambdaC_(n-1)^((lambda+1))(x)
(11)
(1-x^2)d/(dx)[C_n^((lambda))]=[2(n+lambda)]^(-1)[(n+2lambda-1)(n+2lambda)C_(n-1)^((lambda))(x)-n(n+1)C_(n+1)^((lambda))(x)]
(12)
=-nxC_n^((lambda))(x)+(n+2lambda-1)C_(n-1)^((lambda))(x)
(13)
=(n+2lambda)xC_n^((lambda))(x)-(n+1)C_(n+1)^((lambda))(x)
(14)
nC_n^((lambda))(x)=xd/(dx)[C_n^((lambda))(x)]-d/(dx)[C_(n-1)^((lambda))(x)]
(15)
(n+2lambda)C_n^((lambda))(x)=d/(dx)[C_(n+1)^((lambda))(x)]-xd/(dx)[C_n^((lambda))(x)]
(16)
d/(dx)[C_(n+1)^((lambda))(x)-C_(n-1)^((lambda))(x)]=2(n+lambda)C_n^((lambda))(x)
(17)
=2lambda[C_n^((lambda+1))(x)-C_(n-2)^((lambda+1))(x)]
(18)

(Szegö 1975, pp. 80-83)。

递推关系是

nC_n^((lambda))(x)=2(n+lambda-1)xC_(n-1)^((lambda))(x)-(n+2lambda-2)C_(n-2)^((lambda))(x)
(19)

对于 n=2, 3, ....

也存在特殊的双nu 公式

C_(2nu)^((lambda))(x)=(2nu+2lambda-1; 2nu)_2F_1(-nu,nu+lambda;lambda+1/2;1-x^2)
(20)
=(-1)^nu(nu+lambda-1; nu)_2F_1(-nu,nu+lambda;1/2;x^2)
(21)
C_(2nu+1)^((lambda))(x)=(2nu+2lambda; 2nu+1)x_2F_1(-nu,nu+lambda+1;lambda+1/2;1-x^2)
(22)
=(-1)^nu2lambda(nu+lambda; nu)x_2F_1(-nu,nu+lambda+1;3/2;x^2).
(23)

Koschmieder (1920) 给出了用 椭圆函数 表示的 lambda=-3/4 和 lambda=-2/3。

另请参阅

生日问题, 第一类切比雪夫多项式, 第二类切比雪夫多项式, 椭圆函数, Gegenbauer 微分方程, 超几何函数, Jacobi 多项式, Legendre 多项式

相关 Wolfram 站点

http://functions.wolfram.com/Polynomials/GegenbauerC3/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/GegenbauerC/, http://functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/GegenbauerC3General/

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参考文献

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Orthogonal Polynomials." Ch. 22 in 数学函数手册，包含公式、图表和数学表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 771-802, 1972.Arfken, G. 物理学家的数学方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, p. 643, 1985.Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; and Tricomi, F. G. 更高超越函数，第 2 卷。 New York: Krieger, p. 175, 1981.Infeld, L. and Hull, T. E. "The Factorization Method." Rev. Mod. Phys. 23, 21-68, 1951.Iyanaga, S. and Kawada, Y. (Eds.). "Gegenbauer Polynomials (Gegenbauer Functions)." Appendix A, Table 20.I in 数学百科词典。 Cambridge, MA: MIT Press, pp. 1477-1478, 1980.Koekoek, R. and Swarttouw, R. F. "Gegenbauer / Ultraspherical." §1.8.1 in The Askey-Scheme of Hypergeometric Orthogonal Polynomials and its q-Analogue. Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, pp. 40-41, 1998.Koschmieder, L. "Über besondere Jacobische Polynome." Math. Zeitschrift 8, 123-137, 1920.Morse, P. M. and Feshbach, H. 理论物理方法，第一部分。 New York: McGraw-Hill, pp. 547-549 and 600-604, 1953.Roman, S. "A Particular Delta Series and the Gegenbauer Polynomials." §6.3 in 伞演算。 New York: Academic Press, pp. 166-174, 1984.Szegö, G. 正交多项式，第 4 版。 Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1975.Zwillinger, D. 微分方程手册，第 3 版。 Boston, MA: Academic Press, pp. 122-123, 1997.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

Gegenbauer 多项式

引用为

Weisstein, Eric W. "Gegenbauer 多项式。" 来自 MathWorld--Wolfram 网络资源。 https://mathworld.net.cn/GegenbauerPolynomial.html

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