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第一类 Meixner 多项式

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多项式 m_k(x;beta,c) 构成 Sheffer 序列 对于

g(t)=((1-c)/(1-ce^t))^beta
(1)
f(t)=(1-e^t)/(c^(-1)-e^t)
(2)

并具有 生成函数

sum_(k=0)^infty(m_k(x;b,c))/(k!)t^k=(1-t/c)^x(1-t)^(-x-b).
(3)

它们用 超几何级数 表示为

m_n(x;gamma,mu)=(gamma)_n_2F_1(-n,-x;gamma;1-mu^(-1)),
(4)

其中 (x)_n 是 Pochhammer 符号 (Koepf 1998, p. 115)。前几个是

m_0(x;b,c)=1
(5)
m_1(x;b,c)=b+x(1-1/c)
(6)
m_2(x;b,c) =(b(b+1)c^2+(c-1)(2bc+c+1)x+(c-1)^2x^2)/(c^2).
(7)

Koekoek 和 Swarttouw (1998) 定义了没有 Pochhammer 符号 的 Meixner 多项式，如下所示

M_n^'(x;beta,c)=_2F_1(-n,-x;beta;1-1/c).
(8)

Krawtchouk 多项式 是第一类 Meixner 多项式的一个特例。

另请参阅

Krawtchouk 多项式、第二类 Meixner 多项式、Sheffer 序列

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参考文献

Chihara, T. S. 正交多项式导论 New York: Gordon and Breach, p. 175, 1978.Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; 和 Tricomi, F. G. 高等超越函数，卷 2 New York: Krieger, pp. 224-225, 1981.Koekoek, R. 和 Swarttouw, R. F. "Meixner." §1.9 in 超几何正交多项式的 Askey 方案及其 q-模拟。 Delft, Netherlands: Technische Universiteit Delft, Faculty of Technical Mathematics and Informatics Report 98-17, pp. 45-46, 1998.Koepf, W. 超几何求和：求和与特殊函数恒等式的算法方法 Braunschweig, Germany: Vieweg, p. 115, 1998.Roman, S. 伞形微积分 New York: Academic Press, 1984.Szegö, G. 正交多项式，第 4 版 Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 35, 1975.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

第一类 Meixner 多项式

请引用为

Weisstein, Eric W. "第一类 Meixner 多项式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/MeixnerPolynomialoftheFirstKind.html

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