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伯恩斯坦多项式

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BernsteinPolynomial

由以下定义的多项式

B_(i,n)(t)=(n; i)t^i(1-t)^(n-i),
(1)

其中 (n; k) 是一个二项式系数。 度为 n 的伯恩斯坦多项式构成了度为 n 的幂多项式的基。 前几个多项式是

B_(0,0)(t)=1
(2)
B_(0,1)(t)=1-t
(3)
B_(1,1)(t)=t
(4)
B_(0,2)(t)=(1-t)^2
(5)
B_(1,2)(t)=2(1-t)t
(6)
B_(2,2)(t)=t^2
(7)
B_(0,3)(t)=(1-t)^3
(8)
B_(1,3)(t)=3(1-t)^2t
(9)
B_(2,3)(t)=3(1-t)t^2
(10)
B_(3,3)(t)=t^3.
(11)

伯恩斯坦多项式在 Wolfram 语言中实现为BernsteinBasis[n, i, t].

伯恩斯坦多项式有许多有用的性质 (Farin 1993)。 它们满足对称性

B_(i,n)(t)=B_(n-i,n)(1-t),
(12)

正性

B_(i,n)(t)>=0
(13)

对于 0<=t<=1，归一化

sum_(i=0)^nB_(i,n)(t)=1,
(14)

且 B_(i,n) 对于 i!=0,n 具有唯一的局部最大值

i^in^(-n)(n-i)^(n-i)(n; i)
(15)

发生在 t=i/n。

BernsteinPolynomialEnvelope

伯恩斯坦多项式 B_(i,n)(x) 对于 i=0, 1, ..., n 的包络 f_n(x) 由下式给出

f_n(x)=1/(sqrt(2pinx(1-x))),
(16)

如上图所示，对于 n=20。

另请参阅

伯恩斯坦展开, 贝塞尔曲线, 样条

使用 Wolfram|Alpha 探索

参考文献

Bernstein, S. "Démonstration du théorème de Weierstrass fondée sur le calcul des probabilities." Comm. Soc. Math. Kharkov 13, 1-2, 1912.Farin, G. Curves and Surfaces for Computer Aided Geometric Design. San Diego: Academic Press, 1993.Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 2, 3rd ed. New York: Wiley, p. 222, 1971.Kac, M. "Une remarque sur les polynomes de M. S. Bernstein." Studia Math. 7, 49-51, 1938.Kac, M. "Reconnaissance de priorité relative à ma note, 'Une remarque sur les polynomes de M. S. Bernstein.' " Studia Math. 8, 170, 1939.Lorentz, G. G. Bernstein Polynomials. Toronto: University of Toronto Press, 1953.Mabry, R. "Problem 10990." Amer. Math. Monthly 110, 59, 2003.Mathé, P. "Approximation of Hölder Continuous Functions by Bernstein Polynomials." Amer. Math. Monthly 106, 568-574, 1999.Widder, D. V. The Laplace Transform. Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 101, 1941.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

伯恩斯坦多项式

请引用为

Weisstein, Eric W. “伯恩斯坦多项式。” 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BernsteinPolynomial.html

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