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贝塞尔多项式

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BesselPolynomialY

Krall 和 Fink (1949) 将贝塞尔多项式定义为函数

y_n(x)=sum_(k=0)^(n)((n+k)!)/((n-k)!k!)(x/2)^k
(1)
=sqrt(2/(pix))e^(1/x)K_(-n-1/2)(1/x),
(2)

其中 K_n(x) 是第二类修正贝塞尔函数。它们与第二类修正球贝塞尔函数 k_n(x) 非常相似。前几个是

y_0(x)=1
(3)
y_1(x)=x+1
(4)
y_2(x)=3x^2+3x+1
(5)
y_3(x)=15x^3+15x^2+6x+1
(6)
y_4(x)=105x^4+105x^3+45x^2+10x+1
(7)

(OEIS A001497)。这些函数满足微分方程

x^2y^('')+(2x+2)y^'-n(n+1)y=0.
(8)
BesselPolynomialP

Carlitz (1957) 随后考虑了相关的多项式

p_n(x)=x^ny_(n-1)(1/x).
(9)

该多项式形成一个相关的谢弗序列，其中

f(t)=t-1/2t^2.
(10)

这给出了生成函数

sum_(k=0)^infty(p_k(x))/(k!)t^k=e^(x(1-sqrt(1-2t))).
(11)

显式公式为

p_n(x)=sum_(k=1)^(n)((2n-k-1)!)/(2^(n-k)(k-1)!(n-k)!)x^k
(12)
=(2n-3)!!x_1F_1(1-n;2-2n;2x),
(13)

其中 x!! 是双阶乘，_1F_1(a;b;z) 是第一类合流超几何函数。前几个多项式是

p_1(x)=x
(14)
p_2(x)=x^2+x
(15)
p_3(x)=x^3+3x^2+3x
(16)
p_4(x)=x^4+6x^3+15x^2+15x
(17)

(OEIS A104548)。

这些多项式满足递推公式

p_n^('')(x)-2p_n^'(x)+2np_(n-1)(x)=0.
(18)

另请参阅

贝塞尔函数, 第二类修正球贝塞尔函数, 谢弗序列

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参考文献

Carlitz, L. "A Note on the Bessel Polynomials." Duke Math. J. 24, 151-162, 1957.Grosswald, E. Bessel Polynomials. New York: Springer-Verlag, 1978.Krall, H. L. 和 Fink, O. "A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials." Trans. Amer. Math. Soc. 65, 100-115, 1949.Roman, S. "The Bessel Polynomials." §4.1.7 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 78-82, 1984.Sloane, N. J. A. 序列 A001497, A001498, 和 A104548 在 "整数序列在线百科全书" 中。

在 Wolfram|Alpha 中被引用

贝塞尔多项式

请引用为

Weisstein, Eric W. "Bessel Polynomial." 来自 MathWorld-- Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BesselPolynomial.html

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