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格拉姆-施密特正交化

格拉姆-施密特正交化，也称为格拉姆-施密特过程，是一个程序，它接受一个非正交的线性无关函数集，并构建一个关于任意区间，相对于任意权重函数 w(x) 的正交基。

将格拉姆-施密特过程应用于函数 1, x, x^2, ... 在区间 [-1,1] 上，使用通常的 L^2 内积 得到 勒让德多项式（直到常数倍数；Reed and Simon 1972, p. 47）。

给定一个原始的线性无关函数集 {u_n}_(n=0)^infty，令 {psi_n}_(n=0)^infty 表示正交化的（但未归一化的）函数，{phi_n}_(n=0)^infty 表示正交归一化的函数，并定义

psi_0(x)=u_0(x)
(1)
phi_0(x)=(psi_0(x))/(sqrt(intpsi_0^2(x)w(x)dx)).
(2)

然后取

psi_1(x)=u_1(x)+a_(10)phi_0(x),
(3)

其中我们要求

intpsi_1phi_0wdx=intu_1phi_0wdx+a_(10)intphi_0^2wdx
(4)
=0.
(5)

根据定义，

intphi_0^2wdx=1,
(6)

所以

a_(10)=-intu_1phi_0wdx.
(7)

因此，第一个正交化函数是

psi_1=u_1(x)-[intu_1phi_0wdx]phi_0,
(8)

相应的归一化函数是

phi_1=(psi_1(x))/(sqrt(intpsi_1^2wdx)).
(9)

通过数学归纳法，可以得出

phi_i(x)=(psi_i(x))/(sqrt(intpsi_i^2wdx)),
(10)

其中

psi_i(x)=u_i+a_(i0)phi_0+a_(i1)phi_1...+a_(i,i-1)phi_(i-1)
(11)

和

a_(ij)=-intu_iphi_jwdx.
(12)

如果函数被归一化为 N_j 而不是 1，那么

int_a^b[phi_j(x)]^2wdx=N_j^2
(13)
phi_i(x)=N_i(psi_i(x))/(sqrt(intpsi_i^2wdx))
(14)
a_(ij)=-(intu_iphi_jwdx)/(N_j^2).
(15)

正交多项式 特别容易使用格拉姆-施密特正交化生成。使用符号

<x_i|x_j>=<x_i|w|x_j>
(16)
=int_a^bx_i(x)x_j(x)w(x)dx,
(17)

其中 w(x) 是一个权重函数，并定义前几个多项式，

p_0(x)=1
(18)
p_1(x)=[x-(<xp_0|p_0>)/(<p_0|p_0>)]p_0.
(19)

根据定义，p_0 和 p_1 是正交多项式，可以从

<p_0|p_1>=<[x-(<xp_0|p_0>)/(<p_0|p_0>)]p_0>
(20)
=<xp_0>-(<xp_0|p_0>)/(<p_0|p_0>)<p_0>
(21)
=<xp_0>-<xp_0>
(22)
=0.
(23)

现在使用递推关系

p_(i+1)(x)=[x-(<xp_i|p_i>)/(<p_i|p_i>)]p_i-[(<p_i|p_i>)/(<p_(i-1)|p_(i-1)>)]p_(i-1)
(24)

构造所有更高阶的多项式。

为了验证这个过程确实产生了正交多项式，检查

<p_(i+1)|p_i>=<[x-(xp_i|p_i)/(p_i|p_i)]p_i|p_i>-<(p_i|p_i)/(p_(i-1)|p_(i-1))p_(i-1)|p_i>
(25)
=<xp_i|p_i>-(<xp_i|p_i>)/(<p_i|p_i>)<p_i|p_i>-(<p_i|p_i>)/(<p_(i-1)|p_(i-1)>)<p_(i-1)|p_i>
(26)
=-(<p_i|p_i>)/(<p_(i-1)|p_(i-1)>)<p_(i-1)|p_i>
(27)
=-(<p_i|p_i>)/(<p_(i-1)|p_(i-1)>)[-(<p_(i-1)|p_(j-1)>)/(<p_(j-2)|p_(j-2)>)<p_(j-2)|p_(j-1)>]
(28)
=...
(29)
=(-1)^j(<p_j|p_j>)/(<p_0|p_0>)<p_0|p_1>
(30)
=0,
(31)

因为 <p_0|p_1>=0。因此，所有的多项式 p_i(x) 都是正交的。

许多常见的数学物理正交多项式可以用这种方式生成。不幸的是，该过程在数值上是不稳定的 (Golub and Van Loan 1996)。

参见

格拉姆行列式, 格拉姆不等式, 格基规约, 正交多项式

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参考文献

Arfken, G. "Gram-Schmidt Orthogonalization." §9.3 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 516-520, 1985.Cohen, H. A Course in Computational Algebraic Number Theory. New York: Springer-Verlag, 1993.Golub, G. H. and Van Loan, C. F. Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins, 1996.Pohst, M. and Zassenhaus, H. "Methods from the Geometry of Numbers." Ch. 3 in Algorithmic Algebraic Number Theory. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1989.Reed, M. and Simon, B. Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis. New York: Academic Press, pp. 46-47, 1972.Trefethen, L. N. and Bau, D. III Numerical Linear Algebra. Philadelphia, PA: SIAM, 1997.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

格拉姆-施密特正交化

引用此内容为

Weisstein, Eric W. "格拉姆-施密特正交化。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Gram-SchmidtOrthonormalization.html

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