综合除法是一种用于除两个多项式的快捷方法，可以用来代替标准的长除法算法。此方法将被除数和除数多项式简化为一组数值。在处理这些数值后，得到的数值输出集用于构建多项式商和多项式余数。
对于综合除法的示例，考虑用
除以
。首先，如果
的幂次在任一多项式中缺失，则必须在相应的多项式中的正确位置插入具有该幂次和零系数的项。在这种情况下，被除数中缺少
项，而除数中缺少
项；因此，在被除数的五次项和三次项之间添加
，而在除数的三次项和线性项之间添加
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(1)
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和
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(2)
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分别。
接下来，从被除数中移除所有变量及其指数（
），而是留下仅由其系数组成的列表：
、
、
、
、
和
。此数字序列被放置在类似除法的配置中
变量也以类似的方式从除数中移除，得到序列
、
、
和
。由于除数不是首一多项式，因此必须跟踪前导系数（在本例中为
）；这样做之后，除数的前导系数被丢弃，其余系数的符号被“反转”，从而留下与除数对应的“修改后的序列”
、
和
。此修改后的序列以及前导系数按如下方式填充到上面显示的类似除法的配置中
被除数中的第一个数字（在本例中为
）被放入第一个结果区域的第一个位置（即水平线下方的第一行）。此数字是原始被除数多项式中
项的系数
此时，必须识别除数的前导系数；在继续之前，被除数的第一个数字（
）必须除以此前导系数（
），其结果（
）将记录到第二个结果区域的第一个位置（即水平线下方的第二行）。此数字是原始被除数中
项的“修改后的系数”，在它被除数的前导系数除之后
现在，此最新结果中的第一个条目（
）乘以来自除数的系数序列的每个元素（
、
和
），其乘积对角放置在下一个被除数项下方，如下所示
随着算法的进行，来自被除数的数字系统地添加到执行的乘法的结果中；特别地，当结果乘积元素直接位于水平线上方时，会发生此加法。加法的结果放置在第一个结果行上
此时，该过程基本上重复：第一个结果行中最后落下的数字（在本例中为
）除以除数的前导系数（
）以产生一个数字（此处为
），该数字放置在第二个结果行上
此结果（
）乘以左侧除数序列（
、
和
）以产生乘积（
、
和
），这些乘积对角放置在后续被除数项下方
接下来是对后续列（
被除数列，此处由
、
和
组成）进行加法，其结果（在本例中为
）除以除数的前导系数（
）以产生
的结果
最后，该过程重复：
乘以序列
、
、
，以产生序列
、
、
，该序列再次对角放置在相应的被除数项下方
添加后续列（
被除数列，由
、
、
、
组成）产生结果（即
），并且由于任何后续的乘积集合将由比剩余被除数项更多的数字组成（即
个数字，每个左侧序列数字一个），因此不需要额外的乘积。因此，此结果（
）无需除以除数的前导系数（
），因此可以对剩余的列求和而无需除法。最后一步可以图示如下
结果是六个数字的列表（来自第二个结果行最左边的三个数字和来自第一个结果行最右边的三个数字），即
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(3)
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为了确定这些数字中的哪些成为商多项式的系数，首先确定左侧序列中有多少个数字。由于此序列由三个数字组成（即
、
和
），序列（3）的前三个数字（即
、
和
）将是商多项式
的系数，该多项式将是二次的，因为五次多项式除以三次多项式。因此，商多项式具有以下形式
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(4)
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此外，（3）的其余数字（即
、
和
）对应于余数多项式
的系数；这里，
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(5)
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商和余数可以组合成一个表达式
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(6)
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还要注意，此计算期间执行的唯一除法运算包括将第一个结果行中的条目除以除数的前导系数
，由此得出结论，商（6）是在仅执行三次除法后计算得出的。
不出所料，此过程可以验证
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(7)
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 |  |  |
(8)
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特别地，将商乘以除数并加上余数，得到原始的被除数多项式，从而证实了结果的有效性。
上面描述的过程可能是单变量多项式综合除法最一般的情况；因此，有时将其称为广义综合除法、扩展综合除法或广义扩展综合除法。尽管令人困惑，但除数是任意次数（不超过被除数的次数）的首一多项式的特殊情况有时被称为扩展综合除法，而最常被称为无限定词“综合除法”的情况由首一线性除数组成，更正式地称为鲁菲尼法则。
