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贝尔多项式

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贝尔多项式有两种。

ExponentialPolynomials

贝尔多项式 B_n(x)，也称为指数多项式，记为 phi_n(x) (Bell 1934, Roman 1984, pp. 63-67)，是一个多项式 B_n(x)，它推广了贝尔数 B_n 和互补贝尔数 B^~_n，使得

B_n(1)=B_n
(1)
B_n(-1)=B^~_n.
(2)

这些贝尔多项式推广了指数函数。

贝尔多项式不应与伯努利多项式混淆，后者也通常记为 B_n(x)。

贝尔多项式在 Wolfram 语言中实现为BellB[n, x].

前几个贝尔多项式是

B_0(x)=1
(3)
B_1(x)=x
(4)
B_2(x)=x^2+x
(5)
B_3(x)=x^3+3x^2+x
(6)
B_4(x)=x^4+6x^3+7x^2+x
(7)
B_5(x)=x^5+10x^4+25x^3+15x^2+x
(8)
B_6(x)=x^6+15x^5+65x^4+90x^3+31x^2+x
(9)

(OEIS A106800)。

{B_n(x)} 形成了相关的谢弗序列，用于

f(t)=ln(1+t),
(10)

因此，这些多项式具有指数生成函数

sum_(k=0)^infty(B_k(x))/(k!)t^k=e^((e^t-1)x).
(11)

生成函数 B_n(x) 的其他形式由下式给出

B_n(x)=e^(-x)sum_(k=0)^infty(k^nx^k)/(k!)
(12)

或

B_n(x)=xsum_(k=1)^n(n-1; k-1)B_(k-1)(x),
(13)

其中 B_0(x)=1，其中 (n; k) 是二项式系数。

贝尔多项式 B_n(x) 具有显式公式

B_n(x)=sum_(k=0)^nS(n,k)x^k,
(14)

其中 S(n,k) 是第二类斯特林数。

一个漂亮的二项式和由下式给出

B_n(x+y)=sum_(k=0)^n(n; k)B_k(x)B_(n-k)(y),
(15)

其中 (n; k) 是二项式系数。

B_n(x) 的导数由下式给出

d/(dx)B_n(x)=(B_(n+1)(x))/x-B_n(x),
(16)

因此 B_n(x) 满足递推方程

B_(n+1)(x)=x[B_n(x)+B_n^'(x)].
(17)

第二类贝尔多项式 B_(n,k)(x_1,x_2,...) 定义为

B_(n,k)(x_1,x_2,...) =sum_(j_1+j_2+...=k; j_1+2j_2+...=n)(n!)/(j_1!j_2!...)((x_1)/(1!))^(j_1)((x_2)/(2!))^(j_2)....
(18)

它们具有生成函数

sum_(k=0)^infty(B_k(x;x_1,x_2,...))/(k!)t^k=e^x(sum_(k=1)^infty(x_k)/(k!)t^k).
(19)

另请参阅

精算多项式, 贝尔数, 互补贝尔数, 多宾斯基公式, 幂等数, 拉赫数, 谢弗序列, 第二类斯特林数

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参考文献

Bell, E. T. "Exponential Polynomials." Ann. Math. 35, 258-277, 1934.Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, p. 133, 1974.Riordan, J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York: Wiley, pp. pp. 35-38, 49, and 142, 1980.Roman, S. "The Exponential Polynomials" and "The Bell Polynomials." §4.1.3 and §4.1.8 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 63-67 and 82-87, 1984.Sloane, N. J. A. Sequence A106800 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 Wolfram|Alpha 中被引用

贝尔多项式

引用为

韦斯坦, 埃里克·W. "贝尔多项式。" 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/BellPolynomial.html

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