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Poisson-Charlier 多项式

Poisson-Charlier 多项式 c_k(x;a) 形成一个 Sheffer 序列，其中

g(t)=e^(a(e^t-1))
(1)
f(t)=a(e^t-1),
(2)

给出 母函数

sum_(k=0)^infty(c_k(x;a))/(k!)t^k=e^(-t)((a+t)/a)^x.
(3)

Sheffer 恒等式为

c_n(x+y;a)=sum_(k=0)^n(n; k)a^(k-n)c_k(y;a)(x)_(n-k),
(4)

其中 (x)_n 是一个 降阶乘 (Roman 1984, p. 121)。这些多项式满足 递推关系

c_(n+1)(x;a)=a^(-1)xc_n(x-1;a)-c_n(x;a).
(5)

这些多项式属于分布 dalpha(x)，其中 alpha(x) 是一个 阶跃函数，跳跃为

j(x)=e^(-a)a^x(x!)^(-1)
(6)

在 x=0, 1, ... 对于 a>0。它们由以下公式给出

c_n(x;a)=sum_(nu=0)^(n)(-1)^(n-nu)(n; nu)nu!a^(-nu)(x; nu)
(7)
=sum_(k=0)^(n)(n; k)(-1)^(n-k)a^(-k)(x)_k
(8)
=a^n(-1)^n[j(x)]^(-1)Delta^nj(x-n)
(9)
=a^(-n)n!L_n^(x-n)(a)
(10)
=sum_(j=0)^(n)x^jsum_(k=0)^(n)(n; k)(-1)^(n-k)a^(-k)s(k,j)
(11)

其中 (n; k) 是一个 二项式系数，(x)_n 是一个 降阶乘，L_n^k(x) 是一个相关的 拉盖尔多项式，s(n,m) 是 第一类斯特林数，并且

Deltaf(x)=f(x+1)-f(x)
(12)
Delta^nf(x)=Delta[Delta^(n-1)f(x)]=f(x+n)-(n; 1)f(x+n-1)+...+(-1)^nf(x).
(13)

它们被归一化，使得

sum_(k=0)^inftyj(k)c_n(k;a)c_m(k;a)=a^(-n)n!delta_(nm),
(14)

其中 delta_(nm) 是 delta 函数。

前几个多项式是

c_0(x;a)=1
(15)
c_1(x;a)=-(a-x)/a
(16)
c_2(x;a)=(a^2-x-2ax+x^2)/(a^2)
(17)
c_3(x;a)=-(a^3-2x-3ax-3a^2x+3x^2+3ax^2-x^3)/(a^3).
(18)

另请参阅

拉盖尔多项式, Poisson-Charlier 函数, Sheffer 序列

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参考文献

Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; 和 Tricomi, F. G. Higher Transcendental Functions, Vol. 2. New York: Krieger, p. 226, 1981.Jordan, C. Calculus of Finite Differences, 3rd ed. New York: Chelsea, p. 473, 1965.Roman, S. "The Poisson-Charlier Polynomials." §4.3.3 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 119-122, 1984.Szegö, G. Orthogonal Polynomials, 4th ed. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 34-35, 1975.

在 Wolfram|Alpha 上被引用

Poisson-Charlier 多项式

请引用为

Weisstein, Eric W. "Poisson-Charlier Polynomial." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/Poisson-CharlierPolynomial.html

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