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四次方程

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四次方程是四阶多项式方程 ，形式为

z^4+a_3z^3+a_2z^2+a_1z+a_0=0.
(1)

虽然一些作者（Beyer 1987b，第 34 页）使用术语“双二次方程”作为四次方程的同义词，但其他作者（Hazewinkel 1988，Gellert et al. 1989）则将该术语保留给没有三次项的四次方程，即关于 x^2 的二次方程。

费拉里是第一个开发出求解一般四次方程的代数技巧的人，该技巧被窃取并在卡尔达诺的《Ars Magna》中于 1545 年发表（Boyer 和 Merzbach 1991，第 283 页）。Wolfram 语言可以使用内置命令精确求解四次方程Solve[a4 x^4 + a3 x^3 + a2 x^2 + a1 x + a0 == 0, x]。该解也可以用 Wolfram 语言代数根对象表示，首先发出SetOptions[Roots, Quartics -> False].

此方程的根满足韦达定理

x_1+x_2+x_3+x_4=-a_3
(2)
x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4=a_2
(3)
x_1x_2x_3+x_2x_3x_4+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4=-a_1
(4)
x_1x_2x_3x_4=a_0,
(5)

其中右侧的分母均为 a_4=1。将四次方程写成标准形式

x^4+px^2+qx+r=0,
(6)

韦达定理中出现的对称多项式的性质然后给出

z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2=-2p
(7)
z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3=-3q
(8)
z_1^4+z_2^4+z_3^4+z_4^4=2p^2-4r
(9)
z_1^5+z_2^5+z_3^5+z_4^5=5pq.
(10)

分别消去 p、q 和 r，得到关系式

z_1z_2(p+z_1^2+z_1z_2+z_2^2)-r=0
(11)
z_1^2z_2(z_1+z_2)-qz_1-r=0
(12)
q+pz_2+z_2^3=0,
(13)

以及它们的循环排列。

费拉里是第一个开发出求解一般四次方程的代数技巧的人。他将他的技巧（该技巧被窃取并由卡尔达诺发表）应用于方程

x^4+6x^2-60x+36=0
(14)

(Smith 1994，第 207 页)。

通过进行 如下形式的替换，可以从一般四次方程 (◇) 中消去 x^3 项

z=x-lambda,
(15)

因此

x^4+(a_3-4lambda)x^3+(a_2-3a_3lambda+6lambda^2)x^2 +(a_1-2a_2lambda+3a_3lambda^2-4lambda^3)x+(a_0-a_1lambda+a_2lambda^2-a_3lambda^3+lambda^4).
(16)

令 lambda=a_3/4，因此

z=x-1/4a_3
(17)

然后得到标准形式

x^4+px^2+qx+r=0,
(18)

其中

p=a_2-3/8a_3^2
(19)
q=a_1-1/2a_2a_3+1/8a_3^3
(20)
r=a_0-1/4a_1a_3+1/(16)a_2a_3^2-3/(256)a_3^4.
(21)

可以通过将四次方程写成允许其代数分解的一般形式，然后找到使其成为这种形式的条件来求解四次方程。为了使其可分解而必须求解的方程称为预解三次方程。为此，请注意，如果四次方程可以写成两个平方项的差，则它是可分解的，

P^2-Q^2=(P+Q)(P-Q).
(22)

事实证明，可以通过在方程 (◇) 中加上和减去 x^2u+u^2/4（其中 u 目前是任意量，但稍后会指定）来获得这种形式的因式分解，得到

(x^4+x^2u+1/4u^2)-x^2u-1/4u^2+px^2+qx+r=0.
(23)

这个方程可以重写为

(x^2+1/2u)^2-[(u-p)x^2-qx+(1/4u^2-r)]=0
(24)

(Birkhoff 和 Mac Lane 1966)。请注意，第一项立即是一个完全平方 P^2，其中

P=x^2+1/2u,
(25)

如果选择 u 以便可以在其中完成平方，则第二项将是一个完全平方 Q^2

Q^2=(u-p)(x^2-q/(u-p)x+(1/4u^2-r)/(u-p)).
(26)

这意味着我们想要

Q^2=(u-p)(x-sqrt((1/4u^2-r)/(u-p)))^2
(27)

这要求

2sqrt((1/4u^2-r)/(u-p))=q/(u-p),
(28)

或

q^2=4(u-p)(1/4u^2-r).
(29)

这就是预解三次方程。

由于三次方程的解析解是已知的，我们可以立即代数求解方程 (29) 的三个解之一，例如 u_1，然后将方程 (29) 代入方程 (26) 得到

Q=Ax-q/(2A)
(30)

其中

A=sqrt(u_1-p).
(31)

因此 Q 是 x 的线性函数，而 P 是 x 的二次函数，因此每一项 P+Q 和 P-Q 都是二次的，可以使用二次公式求解，从而给出原始四次方程的所有四个解。

显式地，将 p、q 和 r 代回 (◇) 得到

u^3+(3/8a_3^2-a_2)u^2+(3/(64)a_3^4-1/4a_2a_3^2+a_1a_3-4a_0)u+(1/(512)a_3^6-1/(64)a_2a_3^4+1/8a_1a_3^3-3/2a_0a_3^2+4a_0a_2-a_1^2).
(32)

可以通过进行替换来简化

u=y-1/8a_3^2,
(33)

这给出了预解三次方程

y^3-a_2y^2+(a_1a_3-4a_0)y+(4a_2a_0-a_1^2-a_3^2a_0)=0.
(34)

令 y_1 为 (34) 的实根，则原始四次方程的四个根由方程的根给出

x^2+1/2(a_3+/-sqrt(a_3^2-4a_2+4y_1))x+1/2(y_1+/-sqrt(y_1^2-4a_0))=0,
(35)

即

z_1=-1/4a_3+1/2R+1/2D
(36)
z_2=-1/4a_3+1/2R-1/2D
(37)
z_3=-1/4a_3-1/2R+1/2E
(38)
z_4=-1/4a_3-1/2R-1/2E,
(39)

其中

R=sqrt(1/4a_3^2-a_2+y_1)
(40)
D={sqrt(3/4a_3^2-R^2-2a_2+1/4(4a_3a_2-8a_1-a_3^3)R^(-1)) for R!=0; sqrt(3/4a_3^2-2a_2+2sqrt(y_1^2-4a_0)) for R=0
(41)
E={sqrt(3/4a_3^2-R^2-2a_2-1/4(4a_3a_2-8a_1-a_3^3)R^(-1)) for R!=0; sqrt(3/4a_3^2-2a_2-2sqrt(y_1^2-4a_0)) for R=0
(42)

(Abramowitz 和 Stegun 1972，第 17 页；Beyer 1987a，第 12 页)。这个结果有时被称为四次公式。

解决四次方程 (◇) 的另一种方法定义了

alpha=(x_1+x_2)(x_3+x_4)=-(x_1+x_2)^2
(43)
beta=(x_1+x_3)(x_2+x_4)=-(x_1+x_3)^2
(44)
gamma=(x_1+x_4)(x_2+x_3)=-(x_2+x_3)^2,
(45)

其中第二种形式来自

x_1+x_2+x_3+x_4=-a_3=0,
(46)

并定义

h(x)=(x-alpha)(x-beta)(x-gamma)
(47)
=x^3-(alpha+beta+gamma)x^2+(alphabeta+alphagamma+betagamma)x-alphabetagamma.
(48)

这个方程可以用原始系数 p、q 和 r 表示为

h(x)=x^3-2px^2+(p^2-4r)x+q^2.
(49)

这个三次方程的根然后给出 alpha、beta 和 gamma，并且可以求解方程 (◇) 到 (◇) 以获得原始四次方程的四个根 x_i (Faucette 1996)。

另请参阅

双二次方程, 三次方程, 多项式判别式, 二次方程, 四次公式, 五次方程

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参考文献

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (编). "Solutions of Quartic Equations." §3.8.3 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, pp. 17-18, 1972.Berger, M. §16.4.1-16.4.11.1 in Geometry I. New York:Springer-Verlag, 1987.Beyer, W. H. CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 12, 1987a.Beyer, W. H. Handbook of Mathematical Sciences, 6th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 1987b.Birkhoff, G. 和 Mac Lane, S. A Survey of Modern Algebra, 5th ed. New York: Macmillan, pp. 107-108, 1996.Borwein, P. 和 Erdélyi, T. "Quartic Equations." §1.1.E.1e in Polynomials and Polynomial Inequalities. New York:Springer-Verlag, p. 4, 1995.Boyer, C. B. 和 Merzbach, U. C. A History of Mathematics, 2nd ed. New York: Wiley, pp. 286-287, 1991.Ehrlich, G. §4.16 in Fundamental Concepts of Abstract Algebra. Boston, MA: PWS-Kent, 1991.Faucette, W. M. "A Geometric Interpretation of the Solution of the General Quartic Polynomial." Amer. Math. Monthly 103, 51-57, 1996.Gellert, W.; Gottwald, S.; Hellwich, M.; Kästner, H.; 和 Künstner, H. (编). VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed. New York: Van Nostrand Reinhold, 1989.Hazewinkel, M. (主编). Encyclopaedia of Mathematics: An Updated and Annotated Translation of the Soviet "Mathematical Encyclopaedia." Dordrecht, Netherlands: Reidel, 1988.MathPages. "Reducing Quartics to Cubics." http://www.mathpages.com/home/kmath296.htm.Smith, D. E. A Source Book in Mathematics. New York: Dover, 1994.van der Waerden, B. L. §64 in Algebra, Vol. 1. New York:Springer-Verlag, 1993.

在 Wolfram|Alpha 中被引用

四次方程

请引用为

Weisstein, Eric W. "Quartic Equation." 来自 MathWorld--Wolfram Web 资源。 https://mathworld.net.cn/QuarticEquation.html

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